Lista de Exercícios 1
Exercício 4 Seja
e
. Considere
, com
,
, definamos as operações:
Nestas condições, mostre que
é um espaço vetorial sobre
. Generalize este resultado para
e
, para
.
Exercício 4 Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
, com a soma
e a multiplicação escalar
é um espaço vetorial sobre
.
Lembrando que um conjunto com essas operações é espaço vetorial se, para todos
e
, valem:
Lembrando que um conjunto
- fechamento aditivo e escalar;
- comutatividade e associatividade da soma;
- existência de elemento neutro e inversos aditivos;
- associatividade da multiplicação escalar;
- existência de identidade escalar;
- distributividade
e .
Passo 2
Mostramos que
é um grupo abeliano:
Fechamento: se então
tem coordenadas
, que ficam em
, logo
.
Associatividade:
Fechamento: se
Associatividade:
Comutatividade é imediata em coordenadas.
Neutro aditivo: satisfaz
.
Inverso: para o inverso é
e
.
Neutro aditivo:
Inverso: para
Passo 3
Verificamos as propriedades da multiplicação escalar:
Fechamento: se e
então
tem coordenadas em
, logo
.
Associatividade escalar:
Fechamento: se
Associatividade escalar:
Identidade escalar:
.
Passo 4
Verificamos as duas leis de distributividade:
Todas as exigências do axioma de espaço vetorial estão satisfeitas.
Passo 5
Concluímos que
, com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre
.
Para e
o mesmo argumento vale trocando as tripletas por
-uplas
. As propriedades são idênticas e mantêm-se coordenada a coordenada.
Para