Lista de Exercícios 1
Exercício 4 Seja V=R^3 e F=R. Considere alpha in R, u, v in V, com u=(x1, y1, z1), v=(x2, y2, z2), definamos as operações:
u+v=(x1+x2, y1+y2, z1+z2) e alpha cdot u=(alpha x1, alpha y1, alpha z1)
Nestas condições, mostre que V é um espaço vetorial sobre F. Generalize este resultado para V=R^n e F=R, para n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que V=R^3, com a soma
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e a multiplicação escalar
alphacdot u=(alpha x1,;alpha y1,;alpha z1),
é um espaço vetorial sobre F=R.
Lembrando que um conjunto V com essas operações é espaço vetorial se, para todos u,v,win V e alpha,betainR, valem:
  • fechamento aditivo e escalar;
  • comutatividade e associatividade da soma;
  • existência de elemento neutro e inversos aditivos;
  • associatividade da multiplicação escalar;
  • existência de identidade escalar;
  • distributividade alpha(u+v)=alpha u+alpha v e (alpha+beta)u=alpha u+beta u.

Passo 2

Mostramos que (V,+) é um grupo abeliano:
Fechamento: se u,vinR^3 então u+v tem coordenadas (x1+x2,y1+y2,z1+z2), que ficam em R, logo u+vinR^3.
Associatividade:
(u+v)+w =(,x1+x2,ldots)+(x3,y3,z3) =(x1+x2+x3,ldots) =u+(v+w)
Comutatividade é imediata em coordenadas.
Neutro aditivo: 0=(0,0,0) satisfaz u+0=u.
Inverso: para u=(x1,y1,z1) o inverso é -u=(-x1,-y1,-z1) e u+(-u)=0.

Passo 3

Verificamos as propriedades da multiplicação escalar:
Fechamento: se alphainR e uinR^3 então alpha u tem coordenadas em R, logo alpha uinR^3.
Associatividade escalar:
alpha(beta u) =alpha(beta x1,beta y1,beta z1) =(alphabeta x1,alphabeta y1,alphabeta z1) =(alphabeta)u
Identidade escalar: 1cdot u=(1cdot x1,1cdot y1,1cdot z1)=u.

Passo 4

Verificamos as duas leis de distributividade:
alpha(u+v) =alpha(x1+x2,ldots) =(alpha(x1+x2),ldots) =(alpha x1,ldots)+(alpha x2,ldots) =alpha u+alpha v,
(alpha+beta)u =((alpha+beta)x1,ldots) =(alpha x1,ldots)+(beta x1,ldots) =alpha u+beta u
Todas as exigências do axioma de espaço vetorial estão satisfeitas.

Passo 5

Concluímos que R^3, com as operações dadas, é um espaço vetorial sobre R.
Para V=R^n e F=R o mesmo argumento vale trocando as tripletas por n-uplas (x1,dots,xn). As propriedades são idênticas e mantêm-se coordenada a coordenada.

Resposta

R^3 é espaço vetorial sobre R, e o mesmo raciocínio geral prova que R^n é espaço vetorial sobre R para todo ninN.

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