Seja
uma função duas vezes diferenciável tal que
e
. Calcule o seguinte limite usando a regra de LHôpital:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ que é duas vezes diferenciável, e nos dão alguns valores específicos: $ f(0) = 0 $, $ f’(0) = -7 $ e $ f’’(0) = \frac{3}{5} $. O exercício pede para calcular o limite:
Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $. Também vamos precisar usar as expansões de Taylor para aproximar as funções perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da primeira fração: $ f(x) - 5x^{2} + 7x $.
Como $ f $ é duas vezes diferenciável, podemos aproximar $ f(x) $ usando a expansão de Taylor em torno de 0:
Substituindo os valores dados:
Então, o numerador fica:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador da primeira fração: $ x^{2} + x \sin\left(\frac{3x}{5}\right) $.
Para $ x $ próximo de 0, podemos aproximar $ \sin\left(\frac{3x}{5}\right) $ usando a expansão de Taylor:
Mas, como estamos trabalhando com limites quando $ x $ tende a 0, os termos de ordem superior se tornam desprezíveis. Então:
Substituindo isso no denominador:
Passo 4
Agora, juntando numerador e denominador da primeira fração, temos:
Então, essa parte do limite é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda parte do limite: $ \sin^{2}(5x) \cot^{2}\left(\frac{3x}{5}\right) $.
Primeiro, vamos lembrar que $ \cot(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)} $. Então:
Para $ x $ próximo de 0:
Então:
Multiplicando esses resultados:
Passo 6
Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 144:
Somando:
Resposta
O valor do limite é $ \frac{9577}{144} $.