Seja f uma função duas vezes diferenciável tal que f(0)=0, f^prime(0)=-7 e f^prime prime(0)=35. Calcule o seguinte limite usando a regra de LHôpital: lim x 0 f(x)-5 x^2+7 xx^2+x sen(3 x5)+sen^2(5 x) cot ^2(3 x5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f $ que é duas vezes diferenciável, e nos dão alguns valores específicos: $ f(0) = 0 $, $ f’(0) = -7 $ e $ f’’(0) = \frac{3}{5} $. O exercício pede para calcular o limite:
f
Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que ajuda quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $. Também vamos precisar usar as expansões de Taylor para aproximar as funções perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da primeira fração: $ f(x) - 5x^{2} + 7x $.
Como $ f $ é duas vezes diferenciável, podemos aproximar $ f(x) $ usando a expansão de Taylor em torno de 0:
f(x) - 5x^2 + 7x
Substituindo os valores dados:
f
Então, o numerador fica:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador da primeira fração: $ x^{2} + x \sin\left(\frac{3x}{5}\right) $.
Para $ x $ próximo de 0, podemos aproximar $ \sin\left(\frac{3x}{5}\right) $ usando a expansão de Taylor:
x^2 + x sin(3x5)
Mas, como estamos trabalhando com limites quando $ x $ tende a 0, os termos de ordem superior se tornam desprezíveis. Então:
x
Substituindo isso no denominador:
sin(3x5)

Passo 4

Agora, juntando numerador e denominador da primeira fração, temos:
f(x) - 5x^2 + 7xx^2 + x sin(3x5) approx -4710x^28x^25 = -4710 cdot 58 = -4716
Então, essa parte do limite é -4716.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte do limite: $ \sin^{2}(5x) \cot^{2}\left(\frac{3x}{5}\right) $.
Primeiro, vamos lembrar que $ \cot(y) = \frac{\cos(y)}{\sin(y)} $. Então:
sin^2(5x) cot^2(3x5)
Para $ x $ próximo de 0:
cot(y) = cos(y)sin(y)
Então:
cot^2(3x5) = cos^2(3x5)sin^2(3x5)
x
Multiplicando esses resultados:
sin(5x) approx 5x e sin(3x5) approx 3x5

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
limx 0 f(x) - 5x^2 + 7xx^2 + x sin(3x5) + sin^2(5x) cot^2(3x5) approx -4716 + 6259
Para somar essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 144:
-4716 = -47 times 916 times 9 = -423144
6259 = 625 times 169 times 16 = 10000144
Somando:
-423144 + 10000144 = 9577144

Resposta

O valor do limite é $ \frac{9577}{144} $.

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