Sabendo que g^(9)(11)=7, calcule a derivada de ordem 9 da função f(x)=g(5x+1)+3cos(pi x) no ponto x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de ordem 9 da função f(x) = g(5x + 1) + 3cos(pi x) no ponto x = 2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas, como a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função f(x) em duas partes para facilitar a derivação:
f(x) = g(5x + 1) + 3cos(pi x)
Isso significa que a derivada de ordem 9 de f(x) será a soma das derivadas de ordem 9 de cada termo individualmente:
f^(9)(x) = d^9dx^9g(5x + 1) + d^9dx^9[3cos(pi x)]

Passo 3

Vamos calcular a derivada de ordem 9 de g(5x + 1) . Aqui, usamos a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de ordem n de g(kx + c) é:
d^ndx^ng(kx + c) = k^n cdot g^(n)(kx + c)
No nosso caso, k = 5 e n = 9 , então:
d^9dx^9g(5x + 1) = 5^9 cdot g^(9)(5x + 1)
Como queremos no ponto x = 2 :
d^9dx^9g(5 cdot 2 + 1) = 5^9 cdot g^(9)(11)
E sabemos que g^(9)(11) = 7 , então:
5^9 cdot 7

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de ordem 9 de 3cos(pi x) . Primeiro, lembramos que a derivada de cos(theta) é -sin(theta) e que as derivadas de funções trigonométricas seguem um padrão cíclico a cada 4 derivadas. Portanto, a derivada de ordem 9 de cos(pi x) será a mesma que a derivada de ordem 1 (já que 9 dividido por 4 dá resto 1):
d^9dx^9cos(pi x) = ddxcos(pi x) = -pi sin(pi x)
Multiplicando pelo 3:
3 cdot (-pi sin(pi x)) = -3pi sin(pi x)
No ponto x = 2 :
-3pi sin(2pi)

Passo 5

Vamos simplificar as expressões. Primeiro, calculando 5^9 :
5^9 = 1953125
Então:
5^9 cdot 7 = 1953125 cdot 7 = 13671875
Agora, para -3pi sin(2pi) , sabemos que sin(2pi) = 0 :
-3pi cdot 0 = 0

Resposta

A derivada de ordem 9 da função f(x) no ponto x = 2 é 13,!671,!875 .

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