Sabendo que
, calcule a derivada de ordem 9 da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de ordem 9 da função
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas, como a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em duas partes para facilitar a derivação:
Isso significa que a derivada de ordem 9 de
será a soma das derivadas de ordem 9 de cada termo individualmente:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de ordem 9 de
. Aqui, usamos a regra da cadeia. Sabemos que a derivada de ordem
de
é:
No nosso caso,
e
, então:
Como queremos no ponto
:
E sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de ordem 9 de
. Primeiro, lembramos que a derivada de
é
e que as derivadas de funções trigonométricas seguem um padrão cíclico a cada 4 derivadas. Portanto, a derivada de ordem 9 de
será a mesma que a derivada de ordem 1 (já que 9 dividido por 4 dá resto 1):
Multiplicando pelo 3:
No ponto
:
Passo 5
Vamos simplificar as expressões. Primeiro, calculando
:
Então:
Agora, para
, sabemos que
:
Resposta
A derivada de ordem 9 da função
no ponto
é
.