Considere a função f dada por f(x)=x^2+4 x+7.
Verifique que f(x)=(x+2)^2+3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar que a função $ f(x) = x^{2} + 4x + 7 $ pode ser escrita como $ f(x) = (x + 2)^{2} + 3 $. Para isso, vamos usar uma técnica da matemática chamada completar o quadrado, que ajuda a reescrever equações quadráticas de uma forma mais simples e útil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é completar o quadrado. Quando temos uma expressão quadrática como $ ax^{2} + bx + c $, completar o quadrado nos permite reescrevê-la na forma $ a(x + d)^{2} + e $, onde $ d $ e $ e $ são números que determinamos durante o processo. Isso facilita a análise da função, como encontrar o vértice da parábola.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse método à nossa função $ f(x) = x^{2} + 4x + 7 $.
  1. Identificar os coeficientes: Aqui, o coeficiente de $ x^{2} $ é 1, de $ x $ é 4, e o termo constante é 7.
  2. Isolar os termos quadrático e linear: Focamos em $ x^{2} + 4x $.
  3. Adicionar e subtrair o quadrado da metade do coeficiente de $ x $:
    • Metade de 4 é 2, e o quadrado de 2 é 4.
    • Então, escrevemos: $ x^{2} + 4x = (x^{2} + 4x + 4) - 4 = (x + 2)^{2} - 4 $.

Passo 4

Agora, vamos substituir de volta na função original:
$ f(x) = (x + 2)^{2} - 4 + 7 $
Simplificando os termos constantes:
$ f(x) = (x + 2)^{2} + 3 $

Resposta

Portanto, mostramos que $ f(x) = x^{2} + 4x + 7 $ é equivalente a $ f(x) = (x + 2)^{2} + 3 $.

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