Resolva d yd x=x y^2-cos x sen xy(1-x^2), y(0)=2.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = x,y^2 - cos x ,sin xy,(1 - x^2)
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo aqui é transformar a equação em uma equação linear usando a substituição u=y^2.

Passo 2

Definindo
u = y^2,
temos
dudx = 2,y,dydx
Substituindo dydx da equação original,
dudx = 2,y;x,y^2-cos x,sin xy,(1-x^2) = 2,x,y^21 - x^2 ;-;2,cos x,sin x1 - x^2
Como y^2=u, obtemos a equação linear em u:
dudx - 2x1 - x^2,u = -,2,cos x,sin x1 - x^2

Passo 3

Para resolver, calcule o fator integrante
mu(x) = expl(-integral 2x1 - x^2,dxr) = expl(ln(1 - x^2)r) = 1 - x^2
Multiplicando a equação linear por mu(x):
(1 - x^2)dudx -2x,u = -2,cos x,sin x,
o que é
ddxl[(1 - x^2),ur] = -2,cos x,sin x
Integrando em x:
(1 - x^2),u = -2integral cos x,sin x,dx + C = -,sin^2x + C
Logo
u = C - sin^2x1 - x^2

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=2, temos u(0)=y^2(0)=4. Assim,
4 = C - sin^201 - 0^2 = C,
logo C=4. Portanto
u = 4 - sin^2x1 - x^2

Passo 5

Voltando a y, como y^2=u,
y(x) = pm raiz4 - sin^2x1 - x^2
Para satisfazer y(0)=2>0, escolhemos o sinal positivo:

Resposta

y(x) = raiz4 - sin^2x1 - x^2

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