0.1 - (4,0) Esboce e descreva as curvas de nível
para os valores especificados de
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar e descrever as curvas de nível da função $ z = x^{2} + y^{2} $ para os valores de $ k = 0, 1, 2, 4 $. Isso envolve entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada. Vamos precisar lembrar que curvas de nível são as linhas no plano $ xy $ onde a função assume um valor constante $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ z = x^{2} + y^{2} $. Essa é uma equação que representa uma superfície no espaço tridimensional, conhecida como paraboloide. As curvas de nível são as interseções dessa superfície com planos horizontais $ z = k $.
Passo 3
Para encontrar as curvas de nível, vamos substituir $ z $ por cada valor de $ k $. Assim, temos:
- Para $ k = 0 $: $ 0 = x^{2} + y^{2} $
- Para $ k = 1 $: $ 1 = x^{2} + y^{2} $
- Para $ k = 2 $: $ 2 = x^{2} + y^{2} $
- Para $ k = 4 $: $ 4 = x^{2} + y^{2} $
Passo 4
Vamos analisar cada uma dessas equações. Elas todas têm a forma $ x^{2} + y^{2} = k $, que é a equação de um círculo no plano $ xy $ com centro na origem
e raio igual a $ \sqrt{k} $.
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de cada círculo:
- Para $ k = 0 $: $ \sqrt{0} = 0 $. Então, é apenas um ponto no centro
. - Para $ k = 1 $: $ \sqrt{1} = 1 $. Círculo com raio 1.
- Para $ k = 2 $: $ \sqrt{2} \approx 1,41 $. Círculo com raio aproximadamente 1,41.
- Para $ k = 4 $: $ \sqrt{4} = 2 $. Círculo com raio 2.
Passo 6
Com base nisso, podemos esboçar as curvas de nível:
- Para $ k = 0 $: Um ponto no centro.
- Para $ k = 1 $: Um círculo pequeno ao redor do ponto central.
- Para $ k = 2 $: Um círculo um pouco maior.
- Para $ k = 4 $: Um círculo ainda maior.
Resposta
As curvas de nível da função $ z = x^{2} + y^{2} $ para $ k = 0, 1, 2, 4 $ são círculos centrados na origem com raios $ 0 $ (um ponto), $ 1 $, $ \sqrt{2} $ e $ 2 $, respectivamente.