Considere a função
dada por
Perguntase:
a) A função
é contínua em
?
a) A função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de uma função. O enunciado nos apresenta uma função
definida por partes:
A pergunta é: A função
é contínua em
?
Para responder, vamos lembrar do que é continuidade e analisar a função nos diferentes pontos do seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em um ponto
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso para nossa função
em todos os pontos de
.
Passo 3
Primeiro, consideremos os pontos onde
. Nesses casos, a função é dada por
.
Sabemos que:
-
é uma função polinomial, que é contínua em todo . -
é uma função trigonométrica composta, também contínua onde está definida, ou seja, para .
Como a multiplicação de funções contínuas é contínua, concluímos que
é contínua para todo
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o ponto onde
. Aqui, a função é definida como
.
Para verificar a continuidade em
, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 e ver se esse limite é igual a
.
Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para todo
, ou seja:
Multiplicando todos os membros por
(que é positivo), temos:
Agora, aplicando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Massa), já que tanto
quanto
tendem a 0 quando
tende a 0, concluímos que:
E como
, temos que:
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.