Considere a função f: R -> R dada por f(x) = { x^2 sen(1/x), se x ≠ 0; 0, se x = 0 } Perguntase:
a) A função f é contínua em R ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre continuidade de uma função. O enunciado nos apresenta uma função definida por partes:
A pergunta é: A função é contínua em ?
Para responder, vamos lembrar do que é continuidade e analisar a função nos diferentes pontos do seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso para nossa função em todos os pontos de .

Passo 3

Primeiro, consideremos os pontos onde . Nesses casos, a função é dada por .
Sabemos que:
  • é uma função polinomial, que é contínua em todo .
  • é uma função trigonométrica composta, também contínua onde está definida, ou seja, para .
Como a multiplicação de funções contínuas é contínua, concluímos que é contínua para todo .

Passo 4

Agora, vamos analisar o ponto onde . Aqui, a função é definida como .
Para verificar a continuidade em , precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 e ver se esse limite é igual a .
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para todo , ou seja:
Multiplicando todos os membros por (que é positivo), temos:
Agora, aplicando o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Massa), já que tanto quanto tendem a 0 quando tende a 0, concluímos que:
E como , temos que:

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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