Decida se cada item abaixo é yerdadeiro ou falso. Prove ou dê contraexemplo. Sejam f1 ⊆ A × B e f2 ⊆ B × C, onde A, B e C são conjuntos numéricos.
(a) Se f1 e f2 são injetoras então f2(f1) é injetora.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções e que são injetoras, ou seja, cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio sem repetições. Queremos saber se a composição dessas duas funções, , também é injetora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções injetoras e composição de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então . Isso garante que não há dois elementos diferentes no domínio que mapeiam para o mesmo elemento no contradomínio.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a composição de funções. A composição significa que aplicamos primeiro e depois ao resultado. Formalmente, para todo elemento em , temos:
Nosso objetivo é mostrar que essa composição também é injetora.

Passo 4

Vamos supor que . Isso significa que:
Como é injetora, podemos concluir que:
E como também é injetora, então:
Portanto, sempre que , necessariamente , o que confirma que é injetora.

Resposta

Verdadeiro. A composição de duas funções injetoras e resulta em uma função injetora .

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