Decida se cada item abaixo é yerdadeiro ou falso. Prove ou dê contraexemplo. Sejam
e
, onde
e
são conjuntos numéricos.
(a) Se
e
são injetoras então
é injetora.
(a) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções
e
que são injetoras, ou seja, cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio sem repetições. Queremos saber se a composição dessas duas funções,
, também é injetora. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções injetoras e composição de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então
. Isso garante que não há dois elementos diferentes no domínio que mapeiam para o mesmo elemento no contradomínio.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a composição de funções. A composição
significa que aplicamos
primeiro e depois
ao resultado. Formalmente, para todo elemento
em
, temos:
Nosso objetivo é mostrar que essa composição também é injetora.
Passo 4
Vamos supor que
. Isso significa que:
Como
é injetora, podemos concluir que:
E como
também é injetora, então:
Portanto, sempre que
, necessariamente
, o que confirma que
é injetora.
Resposta
Verdadeiro. A composição de duas funções injetoras
e
resulta em uma função injetora
.