Considere a função f:[0,+infty) R^3 dada por f(t)=(cos (t), sen(t), 1) :
A curva alpha:[0,2 pi] R^3 dada por alpha(t)=f(t) está parametrizada pelo comprimento de arco? Justifique. Caso não esteja, reparametrize pelo comprimento de arco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a curva dada pela função alpha(t) = (cos(t), sin(t), 1) está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso envolve entender sobre parametrização por arco, cálculo de derivadas e comprimentos de curvas. Vamos precisar calcular a velocidade da curva e ver se ela é constante igual a 1 para confirmar se está parametrizada pelo comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva estar parametrizada pelo comprimento de arco. Basicamente, isso quer dizer que o parâmetro t representa exatamente o comprimento da curva à medida que avançamos. Para verificar isso, precisamos calcular a velocidade da curva, que é a magnitude da derivada de alpha(t) .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de alpha(t) em relação a t :
alpha'(t) = ( ddt cos(t), ddt sin(t), ddt 1 ) = (-sin(t), cos(t), 0)
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, ou seja, a velocidade:
|alpha'(t)| = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 0^2 = raizsin^2(t) + cos^2(t) = raiz1 = 1

Passo 4

Vimos que a velocidade |alpha'(t)| é igual a 1 para qualquer valor de t . Isso significa que a curva está sendo percorrida a uma velocidade constante de 1 unidade por unidade de t .

Passo 5

Como a velocidade é constante e igual a 1, o parâmetro t já representa exatamente o comprimento de arco da curva. Não precisamos fazer nenhuma reparametrização, pois a curva já está parametrizada pelo comprimento de arco.

Resposta

Sim, a curva alpha(t) = (cos(t), sin(t), 1) está parametrizada pelo comprimento de arco, já que a velocidade |alpha'(t)| é constante e igual a 1.

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