Considere a função
dada por
:
A curva
dada por
está parametrizada pelo comprimento de arco? Justifique. Caso não esteja, reparametrize pelo comprimento de arco.
A curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a curva dada pela função
está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso envolve entender sobre parametrização por arco, cálculo de derivadas e comprimentos de curvas. Vamos precisar calcular a velocidade da curva e ver se ela é constante igual a 1 para confirmar se está parametrizada pelo comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva estar parametrizada pelo comprimento de arco. Basicamente, isso quer dizer que o parâmetro
representa exatamente o comprimento da curva à medida que avançamos. Para verificar isso, precisamos calcular a velocidade da curva, que é a magnitude da derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, ou seja, a velocidade:
Passo 4
Vimos que a velocidade
é igual a 1 para qualquer valor de
. Isso significa que a curva está sendo percorrida a uma velocidade constante de 1 unidade por unidade de
.
Passo 5
Como a velocidade é constante e igual a 1, o parâmetro
já representa exatamente o comprimento de arco da curva. Não precisamos fazer nenhuma reparametrização, pois a curva já está parametrizada pelo comprimento de arco.
Resposta
Sim, a curva
está parametrizada pelo comprimento de arco, já que a velocidade
é constante e igual a 1.