Considere a função f:[0,+infty) R^3 dada por f(t)=(cos (t), sen(t), 1) :
Encontre o comprimento de arco da curva alpha:[0,2 pi] R^3 dada por alpha(t)=f(t) de t=0 até o ponto (0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que define uma curva no espaço tridimensional: f(t) = (cos(t), sin(t), 1) . A questão quer que a gente encontre o comprimento do arco dessa curva desde t = 0 até o ponto (0, 1, 1) .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente aqueles relacionados ao cálculo de comprimento de arco de uma curva parametrizada. Vamos precisar entender como derivar a função que define a curva e então integrar a norma dessa derivada no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo de t que corresponde ao ponto final (0, 1, 1) . A curva é dada por:
alpha(t) = (cos(t), sin(t), 1)
Queremos encontrar t tal que alpha(t) = (0, 1, 1) . Vamos igualar as componentes:
cos(t) = 0 sin(t) = 1 1 = 1
Sabemos que sin(t) = 1 quando t = pi2 . Então, o intervalo que vamos considerar é de t = 0 até t = pi2 .

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento do arco da curva alpha(t) no intervalo [0, pi2] , usamos a fórmula do comprimento de arco para uma curva parametrizada:
L = integrala^b |alpha'(t)| , dt
Onde alpha'(t) é a derivada da função vetor alpha(t) e |alpha'(t)| é a norma dessa derivada.

Passo 4

Vamos calcular a derivada alpha'(t) :
alpha(t) = (cos(t), sin(t), 1) alpha'(t) = ( ddt cos(t), ddt sin(t), ddt 1 ) alpha'(t) = (-sin(t), cos(t), 0)

Passo 5

Agora, calculamos a norma de alpha'(t) :
|alpha'(t)| = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 0^2 |alpha'(t)| = raizsin^2(t) + cos^2(t) |alpha'(t)| = raiz1 |alpha'(t)| = 1
Aqui, usamos a identidade trigonométrica sin^2(t) + cos^2(t) = 1 .

Passo 6

Com a norma constante, o comprimento do arco fica mais simples de calcular:
L = integral0^pi2 1 , dt = [ t ]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2

Resposta

O comprimento do arco da curva alpha(t) de t = 0 até o ponto (0, 1, 1) é pi2 unidades.

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