Considere a função
dada por
:
Encontre o comprimento de arco da curva
dada por
de
até o ponto
.
Encontre o comprimento de arco da curva
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que define uma curva no espaço tridimensional:
. A questão quer que a gente encontre o comprimento do arco dessa curva desde
até o ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente aqueles relacionados ao cálculo de comprimento de arco de uma curva parametrizada. Vamos precisar entender como derivar a função que define a curva e então integrar a norma dessa derivada no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo de
que corresponde ao ponto final
. A curva é dada por:
Queremos encontrar
tal que
. Vamos igualar as componentes:
Sabemos que
quando
. Então, o intervalo que vamos considerar é de
até
.
Passo 3
Agora, para encontrar o comprimento do arco da curva
no intervalo
, usamos a fórmula do comprimento de arco para uma curva parametrizada:
Onde
é a derivada da função vetor
e
é a norma dessa derivada.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
:
Passo 5
Agora, calculamos a norma de
:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica
.
Passo 6
Com a norma constante, o comprimento do arco fica mais simples de calcular:
Resposta
O comprimento do arco da curva
de
até o ponto
é
unidades.