Considere a função f:[0,+infty) R^3 dada por f(t)=(cos (t), sen(t), 1) :
Encontre a curvatura k(s) no ponto (0,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a curvatura k(s) no ponto (0,1,1) da função f(t) = (cos(t), sin(t), 1) . Isso está ligado ao estudo de curvas no espaço, especificamente à curvatura, que nos diz o quanto a curva está “curvando” em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função f(t) e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar em qual valor de t a função f(t) dá o ponto (0,1,1) . Vamos igualar cada componente:
cos(t) = 0, sin(t) = 1, 1 = 1
Sabemos que cos(pi2) = 0 e sin(pi2) = 1 . Então, t = pi2 é o parâmetro que nos dá o ponto desejado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de f(t) , que representa a velocidade vetor da curva:
f'(t) = ( -sin(t), cos(t), 0 )
Isso porque a derivada de cos(t) é -sin(t) , a derivada de sin(t) é cos(t) , e a derivada de uma constante (1) é 0.

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada de f(t) , que está relacionada à aceleração vetor:
f''(t) = ( -cos(t), -sin(t), 0 )
Aqui, derivamos novamente cada componente: a derivada de -sin(t) é -cos(t) , a derivada de cos(t) é -sin(t) , e a derivada de 0 é 0.

Passo 5

A fórmula da curvatura k(t) para uma curva parametrizada é:
k(t) = | f'(t) times f''(t) | | f'(t) |^3
Onde times representa o produto vetorial e | cdot | a norma (ou comprimento) do vetor. Vamos calcular cada parte dessa fórmula.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial f'(t) times f''(t) :
f'(t) = ( -sin(t), cos(t), 0 ) f''(t) = ( -cos(t), -sin(t), 0 ) f'(t) times f''(t) = | ccc i & j & k -sin(t) & cos(t) & 0 -cos(t) & -sin(t) & 0 |
Calculando o determinante:
f'(t) times f''(t) = (0, 0, sin^2(t) + cos^2(t)) = (0, 0, 1)
Usamos a identidade trigonométrica sin^2(t) + cos^2(t) = 1 .

Passo 7

Agora, calculamos a norma do produto vetorial:
| f'(t) times f''(t) | = | (0, 0, 1) | = 1

Passo 8

Em seguida, calculamos a norma de f'(t) :
| f'(t) | = raiz (-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 0^2 = raiz sin^2(t) + cos^2(t) = raiz1 = 1
Mais uma vez, usamos sin^2(t) + cos^2(t) = 1 .

Passo 9

Agora, aplicamos todos os valores na fórmula da curvatura:
k(t) = 11^3 = 1

Resposta

A curvatura k(s) no ponto (0,1,1) é igual a 1.

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