Considere a função dada por :
Encontre a curvatura no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a curvatura no ponto da função . Isso está ligado ao estudo de curvas no espaço, especificamente à curvatura, que nos diz o quanto a curva está “curvando” em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar em qual valor de a função dá o ponto . Vamos igualar cada componente:
Sabemos que e . Então, é o parâmetro que nos dá o ponto desejado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de , que representa a velocidade vetor da curva:
Isso porque a derivada de é , a derivada de é , e a derivada de uma constante (1) é 0.
Passo 4
Em seguida, calculamos a segunda derivada de , que está relacionada à aceleração vetor:
Aqui, derivamos novamente cada componente: a derivada de é , a derivada de é , e a derivada de 0 é 0.
Passo 5
A fórmula da curvatura para uma curva parametrizada é:
Onde representa o produto vetorial e a norma (ou comprimento) do vetor. Vamos calcular cada parte dessa fórmula.