Considere a função f dada por f(x)=(x-3)(x+4)(x+2)(x^2+4 x-5). Determine:
(a) domínio de f;
(b) f(0);
(c) valores de x tais que f(x)=0;

Passo 1

O enunciado define a função racional
f(x)=(x-3)(x+4)(x+2)l(x^2+4x-5r)
e pede: (a) o domínio, (b) o valor de f(0) e (c) as raízes de f. Para resolver isso precisamos (1) garantir que o denominador não zere, (2) avaliar a expressão em x=0 e (3) resolver o numerador igual a zero cuidando de não incluir pontos proibidos.

Passo 2

Vamos achar o domínio impondo
(x+2)l(x^2+4x-5r)neq0
Fatoramos x^2+4x-5 como
x^2+4x-5=(x+5)(x-1)
Logo o denominador é (x+2)(x+5)(x-1), que não pode ser zero. Portanto,
xneq -2, xneq -5, xneq 1
O domínio é
Rsetminus-5,-2,1

Passo 3

Para calcular f(0) basta substituir x=0 em
f(x)=(x-3)(x+4)(x+2),(x+5),(x-1)
Isso dá
f(0)=(0-3)(0+4)(0+2),(0+5),(0-1) =-3cdot42cdot5cdot(-1) =-12-10 =65

Passo 4

As raízes de f vêm de
(x-3)(x+4)=0
desde que não sejam valores proibidos. Da equação acima obtemos x=3 ou x=-4. Verificando no denominador, nem -4 nem 3 coincidem com -5,-2,1, então ambos são válidos.

Resposta

(a) Rsetminus-5,-2,1
(b) f(0)=tfrac65
(c) As soluções são x=3 e x=-4.

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