Considere a função f:[0,+infty) R^3 dada por f(t)=(cos (t), sen(t), 1) :
Encontre os vetores T(t), N(t) e B(t) em t=pi2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os vetores T(t) , N(t) e B(t) da função f(t) = (cos(t), sin(t), 1) no ponto onde t = pi2 . Isso está dentro do estudo de geometria diferencial, mais especificamente sobre os vetores de Frenet, que descrevem a orientação de uma curva no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas da função, normalizar vetores e usar algumas fórmulas básicas dessa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses vetores:
  • T(t) : vetor tangente, que indica a direção da curva no ponto.
  • N(t) : vetor normal, que aponta para a direção da curvatura da curva.
  • B(t) : vetor binormal, que é perpendicular tanto ao T(t) quanto ao N(t) .
Para encontrá-los, precisamos calcular a derivada da função f(t) para obter o vetor tangente, depois normalizar esse vetor. Em seguida, calculamos a derivada do vetor tangente para encontrar o vetor normal, também normalizando. Por fim, usamos o produto vetorial entre T(t) e N(t) para obter o binormal.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de f(t) :
f'(t) = ( -sin(t), cos(t), 0 )
Esse é o vetor tangente antes da normalização.

Passo 4

Agora, precisamos normalizar f'(t) para obter T(t) . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude |f'(t)| :
|f'(t)| = raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 0^2 = raizsin^2(t) + cos^2(t) = 1
Então, T(t) = f'(t) :
T(t) = ( -sin(t), cos(t), 0 )

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de T(t) para encontrar o vetor normal N(t) :
T'(t) = ( -cos(t), -sin(t), 0 )
Em seguida, normalizamos T'(t) :
|T'(t)| = raiz(-cos(t))^2 + (-sin(t))^2 + 0^2 = raizcos^2(t) + sin^2(t) = 1
Portanto, N(t) = T'(t) :
N(t) = ( -cos(t), -sin(t), 0 )

Passo 6

Por último, encontramos o vetor binormal B(t) fazendo o produto vetorial entre T(t) e N(t) :
B(t) = T(t) times N(t)
Calculando o produto vetorial:
B(t) = i & j & k -sin(t) & cos(t) & 0 -cos(t) & -sin(t) & 0 = (0, 0, sin^2(t) + cos^2(t)) = (0, 0, 1)

Resposta

Os vetores em t = pi2 são:
T(pi2) = (-1, 0, 0)
N(pi2) = (0, -1, 0)
B(pi2) = (0, 0, 1)

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