Considere a função dada por :
Encontre os vetores e em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os vetores , e da função no ponto onde . Isso está dentro do estudo de geometria diferencial, mais especificamente sobre os vetores de Frenet, que descrevem a orientação de uma curva no espaço. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas da função, normalizar vetores e usar algumas fórmulas básicas dessa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses vetores:
: vetor tangente, que indica a direção da curva no ponto.
: vetor normal, que aponta para a direção da curvatura da curva.
: vetor binormal, que é perpendicular tanto ao quanto ao .
Para encontrá-los, precisamos calcular a derivada da função para obter o vetor tangente, depois normalizar esse vetor. Em seguida, calculamos a derivada do vetor tangente para encontrar o vetor normal, também normalizando. Por fim, usamos o produto vetorial entre e para obter o binormal.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de :
Esse é o vetor tangente antes da normalização.
Passo 4
Agora, precisamos normalizar para obter . A normalização é feita dividindo o vetor pela sua magnitude :
Então, :
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de para encontrar o vetor normal :
Em seguida, normalizamos :
Portanto, :
Passo 6
Por último, encontramos o vetor binormal fazendo o produto vetorial entre e :