Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Questão Extra Cálculo Diferencial e Integral 3
Professor: Serginei Liberato
Data de Entrega: 10/02/2025
Turma 01
Nota:
Nome:
Matrícula:
(1.0) (Consequência Teorema de Green) Seja
um campo vetorial de classe
um subconjunto conexo
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
i)
, qualquer que seja a curva
por partes, contida em
.
ii) A integral de linha de
do ponto
até o ponto
independe da curva
por partes, contida em
, que liga
a
.
iii)
é um campo gradiente de alguma função potencial
em
.
iv)
em
.
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Questão Extra Cálculo Diferencial e Integral 3
Professor: Serginei Liberato
Data de Entrega: 10/02/2025
Turma 01
Nota:
Nome:
Matrícula:
(1.0) (Consequência Teorema de Green) Seja
i)
ii) A integral de linha de
iii)
iv)
Passo 1
Beleza, bora entender o que a questão tá pedindo! Temos um campo vetorial
que é bem comportado (classe
) em um conjunto conectado
no plano. A pergunta quer que a gente prove que quatro afirmações diferentes sobre esse campo vetorial são equivalentes. Ou seja, se uma é verdadeira, todas as outras também são, e vice-versa.
Os conteúdos que vamos usar aqui são do Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente sobre campos vetoriais conservativos e o Teorema de Green. Precisamos entender conceitos como integrais de linha, independência do caminho, função potencial e condições para um campo ser conservativo.
Passo 2
Vamos começar mostrando que a afirmação i) implica a afirmação ii).
i) Diz que a integral de linha de
ao longo de qualquer curva fechada
em
é zero:
ii) Diz que a integral de linha de
de um ponto
até um ponto
não depende do caminho escolhido entre
e
.
Por que i) implica ii)? Se a integral ao longo de qualquer curva fechada é zero, então pegar dois caminhos diferentes de
a
e juntar um com o inverso do outro forma uma curva fechada. Como a integral sobre essa curva fechada é zero, as integrais dos dois caminhos devem ser iguais. Ou seja, a integral de
a
é a mesma, independentemente do caminho.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a afirmação ii) implica a afirmação iii).
ii) A integral de
de
a
é independente do caminho.
iii) Diz que
é um campo gradiente de alguma função potencial
em
.
Por que ii) implica iii)? Se a integral de linha é independente do caminho, isso significa que existe uma função
tal que:
Essa função
é a função potencial, e
é o gradiente dela:
Então,
é realmente um campo gradiente.
Passo 4
Vamos seguir e mostrar que a afirmação iii) implica a afirmação iv).
iii)
é o gradiente de uma função potencial
, ou seja,
.
iv)
em
.
Por que iii) implica iv)? Se
, então:
Pela igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz), temos
.
Passo 5
Por fim, vamos mostrar que a afirmação iv) implica a afirmação i).
iv)
em
.
i) A integral de linha de
ao longo de qualquer curva fechada
em
é zero.
Por que iv) implica i)? Isso é uma consequência direta do Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla da diferença das derivadas parciais:
Se
, então a integral dupla é zero, logo a integral de linha fechada também é zero.
Resposta
Assim, mostramos que todas as quatro afirmações são equivalentes: cada uma implica a outra, formando um ciclo de equivalências. Portanto, as afirmações i), ii), iii) e iv) são equivalentes.