Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho Questão Extra Cálculo Diferencial e Integral 3
Professor: Serginei Liberato
Data de Entrega: 10/02/2025
Turma 01
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(1.0) (Consequência Teorema de Green) Seja F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) um campo vetorial de classe C^2 em um subconjunto conexo U subset R^2. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
i) ointC F cdot d r=0, qualquer que seja a curva C, C^1 por partes, contida em U.
ii) A integral de linha de F do ponto A até o ponto B independe da curva C^1 por partes, contida em U, que liga A a B.
iii) F é um campo gradiente de alguma função potencial f em U.
iv) partial Qpartial x=partial Ppartial y em U.

Passo 1

Beleza, bora entender o que a questão tá pedindo! Temos um campo vetorial F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) que é bem comportado (classe C^2 ) em um conjunto conectado U no plano. A pergunta quer que a gente prove que quatro afirmações diferentes sobre esse campo vetorial são equivalentes. Ou seja, se uma é verdadeira, todas as outras também são, e vice-versa.
Os conteúdos que vamos usar aqui são do Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente sobre campos vetoriais conservativos e o Teorema de Green. Precisamos entender conceitos como integrais de linha, independência do caminho, função potencial e condições para um campo ser conservativo.

Passo 2

Vamos começar mostrando que a afirmação i) implica a afirmação ii).
i) Diz que a integral de linha de F ao longo de qualquer curva fechada C em U é zero:
ointC F cdot dr = 0
ii) Diz que a integral de linha de F de um ponto A até um ponto B não depende do caminho escolhido entre A e B .
Por que i) implica ii)? Se a integral ao longo de qualquer curva fechada é zero, então pegar dois caminhos diferentes de A a B e juntar um com o inverso do outro forma uma curva fechada. Como a integral sobre essa curva fechada é zero, as integrais dos dois caminhos devem ser iguais. Ou seja, a integral de A a B é a mesma, independentemente do caminho.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a afirmação ii) implica a afirmação iii).
ii) A integral de F de A a B é independente do caminho.
iii) Diz que F é um campo gradiente de alguma função potencial f em U .
Por que ii) implica iii)? Se a integral de linha é independente do caminho, isso significa que existe uma função f tal que:
f(B) - f(A) = integralA^B F cdot dr
Essa função f é a função potencial, e F é o gradiente dela:
F = nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Então, F é realmente um campo gradiente.

Passo 4

Vamos seguir e mostrar que a afirmação iii) implica a afirmação iv).
iii) F é o gradiente de uma função potencial f , ou seja, F = nabla f .
iv) partial Qpartial x = partial Ppartial y em U .
Por que iii) implica iv)? Se F = (P, Q) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) , então:
partial Qpartial x = partial^2 fpartial x partial y e partial Ppartial y = partial^2 fpartial y partial x
Pela igualdade das derivadas parciais mistas (teorema de Schwarz), temos partial Qpartial x = partial Ppartial y .

Passo 5

Por fim, vamos mostrar que a afirmação iv) implica a afirmação i).
iv) partial Qpartial x = partial Ppartial y em U .
i) A integral de linha de F ao longo de qualquer curva fechada C em U é zero.
Por que iv) implica i)? Isso é uma consequência direta do Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla da diferença das derivadas parciais:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Se partial Qpartial x = partial Ppartial y , então a integral dupla é zero, logo a integral de linha fechada também é zero.

Resposta

Assim, mostramos que todas as quatro afirmações são equivalentes: cada uma implica a outra, formando um ciclo de equivalências. Portanto, as afirmações i), ii), iii) e iv) são equivalentes.

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