Considere a função F: R^2 R^2 dada por F(x, y)=(y-x, x+y). Existe alguma função f: R^2 R para a qual nabla f=F?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se existe uma função f: R^2 R cuja derivada em relação a x e y (ou seja, o gradiente nabla f ) seja igual à função F(x, y) = (y - x, x + y) . Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de cálculo vetorial. Precisamos usar os conceitos de gradiente e campos conservativos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função f ter F como seu gradiente, F precisa ser um campo vetorial conservativo. Uma condição importante para isso em duas dimensões é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
partial F1partial y = partial F2partial x
Vamos calcular essas derivadas para a nossa função F .

Passo 3

Calculando a primeira derivada parcial:
F1 = y - x Rightarrow partial F1partial y = 1
E a segunda derivada parcial:
F2 = x + y Rightarrow partial F2partial x = 1
Como partial F1partial y = partial F2partial x , o campo F é conservativo. Portanto, existe sim uma função f tal que nabla f = F .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função f . Sabemos que:
partial fpartial x = y - x e partial fpartial y = x + y
Vamos integrar partial fpartial x em relação a x para encontrar f :
f(x, y) = integral (y - x) , dx = yx - 12x^2 + g(y)
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y , pois a integração em relação a x pode trazer uma função de y .

Passo 5

Agora, derivamos f(x, y) = yx - 12x^2 + g(y) em relação a y e igualamos a F2 :
partial fpartial y = x + g'(y) = x + y
Isso nos dá:
g'(y) = y Rightarrow g(y) = 12y^2 + C
Onde C é a constante de integração. Podemos descartar C ou incluí-lo na função final.

Resposta

A função procurada é
f(x, y) = xy - 12x^2 + 12y^2 + C
onde C é uma constante qualquer.

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