Considere a função
dada por
. Existe alguma função
para a qual
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se existe uma função
cuja derivada em relação a
e
(ou seja, o gradiente
) seja igual à função
. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de cálculo vetorial. Precisamos usar os conceitos de gradiente e campos conservativos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função
ter
como seu gradiente,
precisa ser um campo vetorial conservativo. Uma condição importante para isso em duas dimensões é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas para a nossa função
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada parcial:
E a segunda derivada parcial:
Como
, o campo
é conservativo. Portanto, existe sim uma função
tal que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, pois a integração em relação a
pode trazer uma função de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração. Podemos descartar
ou incluí-lo na função final.
Resposta
A função procurada é
onde
é uma constante qualquer.