Exercício 1: Seja E o sólido localizado entre as superfícies de equações x^2-z=-y^2 e z=2-x^2-y^2.
a) Determine o volume de E.
b) Se a função densidade de carga em E é tau(x, y, z)=2 z C / cm^3, então qual é a carga total de E ?

Passo 1

O enunciado define o sólido E entre as superfícies
x^2-z=-y^2
e
z=2 - x^2 - y^2,
pede (a) o volume de E e (b) a carga total se a densidade é tau(x,y,z)=2z. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas (ou polares no plano xy).

Passo 2

Reescrevendo as superfícies em função de z, temos
z = x^2 + y^2 (inferior)
e
z = 2 - x^2 - y^2 (superior)
A interseção ocorre quando
x^2+y^2 = 2 - x^2 - y^2 ;Longrightarrow; x^2+y^2 = 1,
ou seja, a projeção de E no plano xy é o disco (x,y)mid x^2+y^2<=1.

Passo 3

Para o volume, fazemos
V = integral duplax^2+y^2<=1l(zsup-zinfr),dA = integral duplar<=1l(2 - r^2 - r^2r),r,dr,dtheta = integral dupla0^2pi!!integral0^1(2 - 2r^2),r,dr,dtheta
Calculando em ordem:
integral0^1(2r - 2r^3),dr =l[r^2 - tfrac12r^4r]0^1 =1 - tfrac12 = tfrac12,
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V = integral0^2pi!tfrac12,dtheta = pi

Passo 4

Para a carga total, usamos
Q = integral triplaE2z,dV
No mesmo sistema, isso vira
Q = 2 integral duplar<=1!!integralz=r^2^,2-r^2 z ;dz;r,dr,dtheta = 2 integral duplar<=1l[tfrac12l((2-r^2)^2-r^4r)r]r,dr,dtheta
;;=integral duplar<=1l((2 - r^2)^2-r^4r),r,dr,dtheta =integral dupla0^2pi!!integral0^1(4 - 4r^2),r,dr,dtheta
Integral em r:
integral0^1(4r - 4r^3),dr =l[2r^2 - r^4r]0^1 =2 - 1 = 1,
então
Q = integral0^2pi1,dtheta = 2pi

Resposta

O volume de E é pi e a carga total é 2pi C.

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