Exercício 1: Seja
o sólido localizado entre as superfícies de equações
e
.
a) Determine o volume de
.
b) Se a função densidade de carga em
é
, então qual é a carga total de
?
a) Determine o volume de
b) Se a função densidade de carga em
Passo 1
O enunciado define o sólido
entre as superfícies
e
pede (a) o volume de
e (b) a carga total se a densidade é
. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas (ou polares no plano
).
Passo 2
Reescrevendo as superfícies em função de
, temos
e
A interseção ocorre quando
ou seja, a projeção de
no plano
é o disco
.
Passo 3
Para o volume, fazemos
Calculando em ordem:
logo
Passo 4
Para a carga total, usamos
No mesmo sistema, isso vira
Integral em
:
então
Resposta
O volume de
é
e a carga total é
C.