A equação da onda unidimensional
partial^2 fpartial t^2=c^2 partial^2 fpartial x^2
busca descrever a vibração dos pontos de uma corda, com c sendo uma constante que depende do material dessa corda. Note que, apesar do nome, ela depende de duas variáveis: do tempo t e da posição x do ponto.
Um modelo possível para representar a vibração de uma corda que possui suas extremidades fixas é usar a função f(x)=cos (c t) sen(x). Verifique se essa função satisfaz a equação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função f(x, t) = cos(ct) cdot sin(x) satisfaz a equação da onda unidimensional:
partial^2 fpartial t^2 = c^2 partial^2 fpartial x^2
Aqui, c é uma constante que depende do material da corda. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas segundas de f em relação ao tempo t e à posição x , e ver se elas se relacionam conforme a equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de f em relação ao tempo t .
A função é:
f(x, t) = cos(ct) cdot sin(x)
Primeiro, derivamos uma vez em relação a t :
partial fpartial t = -c cdot sin(ct) cdot sin(x)
Agora, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
partial^2 fpartial t^2 = -c^2 cdot cos(ct) cdot sin(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de f em relação à posição x .
A função é:
f(x, t) = cos(ct) cdot sin(x)
Primeiro, derivamos uma vez em relação a x :
partial fpartial x = cos(ct) cdot cos(x)
Agora, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
partial^2 fpartial x^2 = -cos(ct) cdot sin(x)
Em seguida, multiplicamos essa segunda derivada por c^2 :
c^2 partial^2 fpartial x^2 = -c^2 cdot cos(ct) cdot sin(x)

Passo 4

Agora, comparando as duas expressões que encontramos:
partial^2 fpartial t^2 = -c^2 cdot cos(ct) cdot sin(x)
c^2 partial^2 fpartial x^2 = -c^2 cdot cos(ct) cdot sin(x)
Vemos que ambas são iguais:
partial^2 fpartial t^2 = c^2 partial^2 fpartial x^2
Isso significa que a função f(x, t) = cos(ct) cdot sin(x) realmente satisfaz a equação da onda.

Resposta

Sim, a função f(x, t) = cos(ct) cdot sin(x) satisfaz a equação da onda unidimensional:
partial^2 fpartial t^2 = c^2 partial^2 fpartial x^2

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