A equação da onda unidimensional
busca descrever a vibração dos pontos de uma corda, com
sendo uma constante que depende do material dessa corda. Note que, apesar do nome, ela depende de duas variáveis: do tempo
e da posição
do ponto.
Um modelo possível para representar a vibração de uma corda que possui suas extremidades fixas é usar a função
. Verifique se essa função satisfaz a equação da onda.
Um modelo possível para representar a vibração de uma corda que possui suas extremidades fixas é usar a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
satisfaz a equação da onda unidimensional:
Aqui,
é uma constante que depende do material da corda. Para resolver isso, vamos calcular as derivadas segundas de
em relação ao tempo
e à posição
, e ver se elas se relacionam conforme a equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
.
A função é:
Primeiro, derivamos uma vez em relação a
:
Agora, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação à posição
.
A função é:
Primeiro, derivamos uma vez em relação a
:
Agora, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Em seguida, multiplicamos essa segunda derivada por
:
Passo 4
Agora, comparando as duas expressões que encontramos:
Vemos que ambas são iguais:
Isso significa que a função
realmente satisfaz a equação da onda.
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação da onda unidimensional: