Considere a função dada por
.
a) A função
possui um único ponto crítico dado por
b) A função
possui um único ponto de inflexão dado por
c) Quantas raízes a função
possui?
d) Podemos afirmar que a função
:
Otem concavidade para cima em
Oé decrescente no intervalo (
)
Oé crescente no intervalo (
)
a) A função
b) A função
c) Quantas raízes a função
d) Podemos afirmar que a função
Oé decrescente no intervalo (
Oé crescente no intervalo (
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
. Pede-se
a) o(s) ponto(s) crítico(s),
b) o(s) ponto(s) de inflexão,
c) o número de raízes reais,
d) características de concavidade e monotonicidade.
Para resolver vamos usar a derivada primeira, a derivada segunda, a resolução de equação polinomial e análise de sinais.
a) o(s) ponto(s) crítico(s),
b) o(s) ponto(s) de inflexão,
c) o número de raízes reais,
d) características de concavidade e monotonicidade.
Para resolver vamos usar a derivada primeira, a derivada segunda, a resolução de equação polinomial e análise de sinais.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira. Como
segue que
O ponto crítico ocorre onde
, i.e.\
Logo há um único ponto crítico em
.
Passo 3
Para o ponto de inflexão usamos a segunda derivada. Derivando
obtemos
O ponto de inflexão ocorre onde
, i.e.\
Há, portanto, um único ponto de inflexão em
.
Passo 4
Para contar as raízes reais resolvemos
Multiplicando por
(com
) obtém-se
cujo discriminante é
Não há raízes reais, isto é, o número de raízes é zero.
Passo 5
Analisando concavidade e monotonicidade:
A concavidade vem do sinal de
Como
para todo
, o sinal de
segue o de
. Logo
- para ,
(côncava para baixo);
- para e para
,
(côncava para cima).
Portanto não é côncava para cima em todo .
- para
- para
Portanto não é côncava para cima em todo
A monotonicidade vem do sinal de
Para
temos
e
, então
; ou seja,
é decrescente em
. Para
o sinal de
muda em
, não sendo crescente em todo
.
Resposta
a)
b)
c) zero raízes reais
d) A única afirmação correta é que é decrescente em
.
b)
c) zero raízes reais
d) A única afirmação correta é que