Considere a função dada por f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}.
a) A função f possui um único ponto crítico dado por x= \square
b) A função f possui um único ponto de inflexão dado por x= \square
c) Quantas raízes a função f possui?
\square 3 \square 0
\square 2
d) Podemos afirmar que a função f :
Otem concavidade para cima em (-\infty, 0)
Oé decrescente no intervalo ( 0,+\infty )
Oé crescente no intervalo ( -\infty, 0 )

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}
definida em \mathbb{R}\setminus\{0\}. Pede-se
a) o(s) ponto(s) crítico(s),
b) o(s) ponto(s) de inflexão,
c) o número de raízes reais,
d) características de concavidade e monotonicidade.
Para resolver vamos usar a derivada primeira, a derivada segunda, a resolução de equação polinomial e análise de sinais.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira. Como
\frac{d}{dx}(1)=0,\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-x^{-2},\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-2x^{-3},
segue que
f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}} =-\frac{x+2}{x^{3}}.
O ponto crítico ocorre onde f'(x)=0, i.e.\
-\frac{x+2}{x^{3}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2.
Logo há um único ponto crítico em x=-2.

Passo 3

Para o ponto de inflexão usamos a segunda derivada. Derivando
f'(x)=-(x+2)x^{-3}
obtemos
f''(x) =2\,\frac{x+3}{x^{4}}.
O ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0, i.e.\
2\,\frac{x+3}{x^{4}}=0 \quad\Longrightarrow\quad x+3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-3.
Há, portanto, um único ponto de inflexão em x=-3.

Passo 4

Para contar as raízes reais resolvemos
1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0.
Multiplicando por x^{2} (com x\neq0) obtém-se
x^{2}+x+1=0,
cujo discriminante é
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = -3<0.
Não há raízes reais, isto é, o número de raízes é zero.

Passo 5

Analisando concavidade e monotonicidade:
A concavidade vem do sinal de
f''(x)=2\,\frac{x+3}{x^{4}}.
Como x^{4}>0 para todo x\neq0, o sinal de f'' segue o de x+3. Logo
- para x<-3, f''(x)<0 (côncava para baixo);
- para -3<x<0 e para x>0, f''(x)>0 (côncava para cima).
Portanto não é côncava para cima em todo (-\infty,0).
A monotonicidade vem do sinal de
f'(x)=-\frac{x+2}{x^{3}}.
Para x>0 temos x+2>0 e x^{3}>0, então f'(x)<0; ou seja, f é decrescente em (0,\infty). Para x<0 o sinal de f'(x) muda em x=-2, não sendo crescente em todo (-\infty,0).

Resposta

a) x=-2
b) x=-3
c) zero raízes reais
d) A única afirmação correta é que f é decrescente em (0,+\infty).

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