Seja f a função definida por f(x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{4}}. Calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) ao longo da reta y=m x, m \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{4}}
quando (x,y)\to(0,0) ao longo da reta y=mx com m\neq0. O conteúdo envolve troca para uma via unidimensional e análise de limite de função racional.

Passo 2

Na reta y=mx definimos
g(x)=f\bigl(x,mx\bigr)=\frac{x^{2}\,(mx)}{x^{4}}.

Passo 3

Simplificando,
g(x)=\frac{m\,x^{3}}{x^{4}}=\frac{m}{x}.
Logo, ao fazermos x\to0, o quociente \tfrac{m}{x} tende a infinito em módulo:
  • se x\to0^+, \tfrac{m}{x}\to+\infty quando m>0 e \tfrac{m}{x}\to-\infty quando m<0;
  • se x\to0^-, os sinais se invertem.

Passo 4

Como \tfrac{m}{x} não converge para um valor real finito ao aproximar x de zero, o limite de f(x,y) ao longo de y=mx não existe como número real (é divergente).

Resposta

O limite não existe (diverge para infinito).

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