Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y "+y=f(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1;
f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<\pi / 2 \\\\ 0, & t \geq \pi / 2\end{cases}

Passo 1

O problema é resolver a EDO não homogênea
y'' + y = f(t),\qquad y(0)=0,\;y'(0)=1,
onde
f(t)=\begin{cases}1,&0\le t<\tfrac\pi2,\\\ 0,&t\ge\tfrac\pi2.\end{cases}
Vamos usar a solução geral da homogênea y_h e um particular y_p em cada intervalo, impondo as condições iniciais em t=0 para 0\le t<\pi/2 e, depois, a continuidade de y e y' em t=\pi/2.

Passo 2

Para 0\le t<\tfrac\pi2 temos
y''+y=1.
A solução geral é y(t)=y_h+y_p com
y_h=A\cos t+B\sin t,
y_p=1.
Logo
y_1(t)=A\cos t+B\sin t+1.
Impondo y_1(0)=0 A+1=0\implies A=-1.
Calculando a derivada
y_1'(t)=-A\sin t+B\cos t=\sin t+B\cos t,
e impondo y_1'(0)=1 B=1.
Portanto
y_1(t)=-\cos t+\sin t+1,\quad 0\le t<\tfrac\pi2.

Passo 3

Para t\ge\tfrac\pi2 temos y''+y=0. A solução é
y_2(t)=C\cos t+D\sin t.
Impondo continuidade em t=\tfrac\pi2:
y_2\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=y_1\bigl(\tfrac\pi2\bigr) \;\Longrightarrow\;D=2,
pois y_1(\tfrac\pi2)=0+1+1=2.
Para as derivadas em t=\tfrac\pi2:
y_2'(t)=-C\sin t+D\cos t,
y_2'\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=y_1'\bigl(\tfrac\pi2\bigr) \;\Longrightarrow\;-C=1\implies C=-1,
pois y_1'(\tfrac\pi2)=\sin(\tfrac\pi2)+\cos(\tfrac\pi2)=1.
Logo
y_2(t)=-\cos t+2\sin t,\quad t\ge\tfrac\pi2.

Resposta

y(t)= \begin{cases} -\cos t+\sin t+1,&0\le t<\tfrac\pi2,\\\\ -\cos t+2\sin t,&t\ge\tfrac\pi2. \end{cases}

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