Encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)=\left\{\begin{array}{c}0, \quad t<1 \\\ t^{2}-2 t+2, \quad t \geq 1 \text { . }\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=\begin{cases} 0, & t<1,\\\ t^{2}-2t+2, & t\ge1. \end{cases}
O conteúdo aqui é usar a função de Heaviside (ou passo) e a fórmula de deslocamento no tempo para calcular \mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.

Passo 2

Como f(t)=0 para t<1, dá para escrever
f(t) = \bigl(t^{2}-2t+2\bigr)\,u(t-1),
onde \,u(t-1) é a função de Heaviside que “liga” em t=1.

Passo 3

Para usar o teorema do deslocamento, reparametrizamos t\mapsto \tau+1. Note que, para t\ge1,
t^{2}-2t+2 = \bigl((\tau+1)^{2}-2(\tau+1)+2\bigr) = \tau^{2}+1.
Logo podemos definir
h(\tau)=\tau^{2}+1 \quad\text{e}\quad f(t)=h(t-1)\,u(t-1).

Passo 4

O teorema do deslocamento diz que
\mathcal{L}\{h(t-1)\,u(t-1)\}(s) = e^{-s}\,\mathcal{L}\{h(\tau)\}(s).
Então basta achar \mathcal{L}\{h(\tau)\}=\mathcal{L}\{\tau^{2}+1\}.

Passo 5

Usando transformadas conhecidas:
\mathcal{L}\{\tau^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}, \qquad \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.
Assim
\mathcal{L}\{h(\tau)\}(s) =\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator e^{-s} do deslocamento, obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = e^{-s}\Bigl(\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}\Bigr).

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = e^{-s}\,\biggl(\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}\biggr).

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