Quantas das funções tem derivada igual a 0 quando x=0 ?
cc f(x)=cos xx+1 & h(x)=sen(x^3+2) g(x)=x ln (x+1) & l(x)=e^x+x e^x

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quantas das funções dadas têm derivada igual a zero no ponto x = 0. O conteúdo envolvido é derivação de funções e avaliação de derivadas em um ponto. Vamos precisar usar regra do quociente, regra do produto, regra da cadeia e derivada de soma/exponencial.

Passo 2

Para f(x)=\frac{\cos x}{x+1} usamos a regra do quociente: a derivada é f'(x)=-(sin x)(x+1)-cos xcdot1(x+1)^2 Avaliando em x=0: o numerador fica (-(0+1)\sin0-\cos0)= -1 e o denominador é 1, logo f’(0)=-1≠0.

Passo 3

Para g(x)=x\ln(x+1) aplicamos a regra do produto: g'(x)=1cdotln(x+1)+xcdot1x+1 Em x=0 temos g’(0)=\ln1+0=0, ou seja g’(0)=0.

Passo 4

Para h(x)=\sin(x^3+2) usamos a regra da cadeia: h'(x)=cos(x^3+2)cdot3x^2 Em x=0 aparece um fator 3·0^2=0, então h’(0)=0.

Passo 5

Para l(x)=ex+xex derivamos termo a termo e no segundo termo aplicamos produto: l'(x)=e^x+(1cdot e^x+xcdot e^x)=e^x+e^x+xe^x=(2+x)e^x Avaliando em x=0 dá l’(0)=2·e^0=2≠0.

Passo 6

Das quatro funções, apenas g e h têm derivada zero em x=0, totalizando 2 funções.

Resposta

2

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