Quantas das funções tem derivada igual a 0 quando
?
Passo 1
O enunciado pede para descobrir quantas das funções dadas têm derivada igual a zero no ponto x = 0. O conteúdo envolvido é derivação de funções e avaliação de derivadas em um ponto. Vamos precisar usar regra do quociente, regra do produto, regra da cadeia e derivada de soma/exponencial.
Passo 2
Para f(x)=\frac{\cos x}{x+1} usamos a regra do quociente: a derivada é
Avaliando em x=0: o numerador fica (-(0+1)\sin0-\cos0)= -1 e o denominador é 1, logo f’(0)=-1≠0.
Passo 3
Para g(x)=x\ln(x+1) aplicamos a regra do produto:
Em x=0 temos g’(0)=\ln1+0=0, ou seja g’(0)=0.
Passo 4
Para h(x)=\sin(x^3+2) usamos a regra da cadeia:
Em x=0 aparece um fator 3·0^2=0, então h’(0)=0.
Passo 5
Para l(x)=ex+xex derivamos termo a termo e no segundo termo aplicamos produto:
Avaliando em x=0 dá l’(0)=2·e^0=2≠0.
Passo 6
Das quatro funções, apenas g e h têm derivada zero em x=0, totalizando 2 funções.
Resposta
2