Considere a função dada por f(x)=(\exp x-1)^{\frac{1}{x}}, definida para x>0. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = (\exp x - 1)^{\frac{1}{x}}, definida para x > 0. A missão é descobrir em quais intervalos essa função está aumentando ou diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que é uma ferramenta que nos mostra como a função se comporta em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função está escrita como uma potência, então vamos transformar isso usando logaritmos. Podemos reescrever f(x) da seguinte maneira:
f(x) = (\exp x - 1)^{\frac{1}{x}} = \exp\left( \frac{1}{x} \ln(\exp x - 1) \right)
Isso ajuda porque agora temos f(x) na forma de uma função exponencial, o que torna a derivação mais direta.

Passo 3

Agora, vamos derivar f(x). Sabemos que a derivada de \exp(g(x)) é \exp(g(x)) \cdot g'(x). Então, aplicando isso aqui:
f'(x) = \exp\left( \frac{1}{x} \ln(\exp x - 1) \right) \cdot \left( \frac{1}{x} \ln(\exp x - 1) \right)'
Precisamos agora derivar a parte dentro do parênteses.

Passo 4

Vamos derivar g(x) = \frac{1}{x} \ln(\exp x - 1). Para isso, usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
g'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln(\exp x - 1)}{x} \right) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx} \ln(\exp x - 1) - \ln(\exp x - 1) \cdot 1}{x^2}
Derivando \ln(\exp x - 1):
\frac{d}{dx} \ln(\exp x - 1) = \frac{\exp x}{\exp x - 1}
Então, substituindo de volta:
g'(x) = \frac{x \cdot \frac{\exp x}{\exp x - 1} - \ln(\exp x - 1)}{x^2}

Passo 5

Agora, juntando tudo, temos que a derivada de f(x) é:
f'(x) = f(x) \cdot g'(x) = (\exp x - 1)^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{x \cdot \frac{\exp x}{\exp x - 1} - \ln(\exp x - 1)}{x^2}
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar onde f'(x) é positivo ou negativo.

Passo 6

Vamos simplificar um pouco mais a expressão da derivada. Observe que x^2 > 0 para todo x > 0, então o sinal de f'(x) depende do numerador:
x \cdot \frac{\exp x}{\exp x - 1} - \ln(\exp x - 1)
Vamos chamar isso de h(x):
h(x) = x \cdot \frac{\exp x}{\exp x - 1} - \ln(\exp x - 1)
Queremos saber onde h(x) > 0 ou h(x) < 0.

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de h(x):
  1. Para x \to 0^+:
    • \exp x \approx 1 + x
    • \exp x - 1 \approx x
    • \ln(\exp x - 1) \approx \ln x que tende a -\infty
    • Portanto, h(x) tende a +\infty
  2. Para x \to +\infty:
    • \exp x cresce muito rápido, então \exp x - 1 \approx \exp x
    • \ln(\exp x - 1) \approx x
    • Então, h(x) \approx x \cdot 1 - x = 0
Além disso, calculando a derivada de h(x) e analisando, percebemos que h(x) é sempre positivo para x > 0.

Passo 8

Como h(x) > 0 para todo x > 0 e x^2 > 0, então g'(x) = \frac{h(x)}{x^2} > 0. Isso significa que a derivada f'(x) é sempre positiva.

Resposta

A função f(x) = (\exp x - 1)^{\frac{1}{x}} está sempre crescendo para todos os valores de x > 0.

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