Considere a função dada por
, definida para
. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
, definida para
. A missão é descobrir em quais intervalos essa função está aumentando ou diminuindo. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, que é uma ferramenta que nos mostra como a função se comporta em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A função está escrita como uma potência, então vamos transformar isso usando logaritmos. Podemos reescrever
da seguinte maneira:
Isso ajuda porque agora temos
na forma de uma função exponencial, o que torna a derivação mais direta.
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Sabemos que a derivada de
é
. Então, aplicando isso aqui:
Precisamos agora derivar a parte dentro do parênteses.
Passo 4
Vamos derivar
. Para isso, usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
Derivando
:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, juntando tudo, temos que a derivada de
é:
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos analisar onde
é positivo ou negativo.
Passo 6
Vamos simplificar um pouco mais a expressão da derivada. Observe que
para todo
, então o sinal de
depende do numerador:
Vamos chamar isso de
:
Queremos saber onde
ou
.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento de
:
-
Para
: -
-
-
que tende a - Portanto,
tende a
-
-
Para
: -
cresce muito rápido, então -
- Então,
-
Além disso, calculando a derivada de
e analisando, percebemos que
é sempre positivo para
.
Passo 8
Como
para todo
e
, então
. Isso significa que a derivada
é sempre positiva.
Resposta
A função
está sempre crescendo para todos os valores de
.