Considere a função dada por f(x, y)=-\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}. Determine o valor do limite ao longo das seguintes curvas:
(e) da reta y=x;

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite da função
f(x,y) = -\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0) seguindo a reta y=x.
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de função de duas variáveis por substituição de uma curva que passa pela origem.

Passo 2

Parametrizando a reta y=x, temos
f(x,x) = -\frac{x \cdot x}{x^{2} + x^{2}} = -\frac{x^{2}}{2x^{2}} = -\tfrac12,
válido para todo x\neq0.

Passo 3

Como f(x,x) é constante igual a -\tfrac12 para x\neq0, o limite quando x\to0 é
\lim_{x\to0}f(x,x) = -\tfrac12.

Resposta

-\tfrac12

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