Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
Isto é, temos satisfeita a definição de função contínua. Quando achar o \delta
(a) f(x, y)=x^{2}+y^{2}, \epsilon=0,01

Passo 1

O enunciado pede para verificar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
para
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
usando a definição de limite em \mathbb{R}^{2}, ou seja, dado \epsilon>0 devemos encontrar \delta>0 tal que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\quad\Rightarrow\quad|f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon.

Passo 2

Vamos calcular
|f(x,y)-f(0,0)| = |x^{2}+y^{2}-0| = x^{2}+y^{2}.
Note que
x^{2}+y^{2} = \bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}.
Logo, se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então
x^{2}+y^{2} < \delta^{2}.
Para garantir x^{2}+y^{2}<\epsilon basta escolher \delta = \sqrt{\epsilon}.

Passo 3

No caso dado \epsilon=0,01 temos
\delta = \sqrt{0,01} = 0,1.
Assim, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<0,1 segue
|f(x,y)-f(0,0)| = x^{2}+y^{2} < (0,1)^{2} = 0,01,
o que mostra que o limite existe e vale 0.

Resposta

\delta = 0,1

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