(2,0) Considere a função dada por f(x, y)=x^{3} y+x y^{2}+y^{3}, onde x=r \cos \theta e y=r \operatorname{sen} \theta. Utilizando a regra da cadeia, determine \frac{\partial f}{\partial r} e \frac{\partial f}{\partial \theta}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}y+x\,y^{2}+y^{3}
com as mudanças de variável
x=r\cos\theta,\quad y=r\operatorname{sen}\theta
e pede \displaystyle \frac{\partial f}{\partial r} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia para derivadas parciais de uma função composta f(x(r,\theta),y(r,\theta)).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y+x\,y^{2}+y^{3}\bigr) =3x^{2}y+(y^{2}),
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y+x\,y^{2}+y^{3}\bigr) =(x^{3})+2x\,y+3y^{2}.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial r} =f_x\,\frac{\partial x}{\partial r}+f_y\,\frac{\partial y}{\partial r}, \quad \frac{\partial f}{\partial \theta} =f_x\,\frac{\partial x}{\partial \theta}+f_y\,\frac{\partial y}{\partial \theta}.
Como
\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\operatorname{sen}\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\cos\theta,
temos
\frac{\partial f}{\partial r} =f_x\cos\theta+f_y\operatorname{sen}\theta,
\frac{\partial f}{\partial \theta} =-\,r\,f_x\operatorname{sen}\theta+r\,f_y\cos\theta.

Passo 4

Substituímos f_x e f_y e as expressões de x e y em função de r,\theta. Primeiro em forma mista:
\frac{\partial f}{\partial r} =\bigl(3x^{2}y+y^{2}\bigr)\cos\theta +\bigl(x^{3}+2x\,y+3y^{2}\bigr)\operatorname{sen}\theta,
\frac{\partial f}{\partial \theta} =r\Bigl[-\bigl(3x^{2}y+y^{2}\bigr)\operatorname{sen}\theta +\bigl(x^{3}+2x\,y+3y^{2}\bigr)\cos\theta\Bigr].

Passo 5

Por fim, substituímos x=r\cos\theta e y=r\operatorname{sen}\theta para escrever só em termos de r,\theta. Uma forma de simplificar é fatorar potências de r. O resultado fica:
\frac{\partial f}{\partial r} =4\,r^{3}\cos^{3}\theta\,\operatorname{sen}\theta +3\,r^{2}\cos\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta +3\,r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta,
\frac{\partial f}{\partial \theta} =r^{4}\bigl(\cos^{4}\theta-3\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta\bigr) +r^{3}\bigl(2\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}\theta+3\cos\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta-\operatorname{sen}^{3}\theta\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial r} =4\,r^{3}\cos^{3}\theta\,\operatorname{sen}\theta +3\,r^{2}\cos\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta +3\,r^{2}\operatorname{sen}^{3}\theta, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \theta} =r^{4}\bigl(\cos^{4}\theta-3\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta\bigr) +r^{3}\bigl(2\cos^{2}\theta\,\operatorname{sen}\theta+3\cos\theta\,\operatorname{sen}^{2}\theta-\operatorname{sen}^{3}\theta\bigr).

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