Determine as derivadas parciais de primeira ordem f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) das funções abaixo:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
ou seja, queremos calcular \,f_{x}(x,y) e \,f_{y}(x,y). Para isso, usamos a definição de derivada parcial e a regra da cadeia: se f(x,y)=\ln(u) com u=x^{2}+y^{2}, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 2

Primeiro definimos u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) =2x.
Aplicando a regra da cadeia,
f_{x}(x,y) =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x =\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

De modo análogo,
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) =2y,
e pela regra da cadeia
f_{y}(x,y) =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y =\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

\displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}},\quad f_{y}(x,y)=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.

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