Determine as derivadas parciais de primeira ordem f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) das funções abaixo:
f(x, y)=(2 x+3 y)^{10}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = (2x + 3y)^{10}
e pede as derivadas parciais f_x e f_y. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, pois f é a composição de g(u)=u^{10} com u(x,y)=2x+3y.

Passo 2

Para calcular a derivada parcial em x, aplicamos a regra da cadeia:
  1. A derivada de g(u)=u^{10} em relação a u é
g'(u)=10\,u^{9}.
  1. A derivada de u(x,y)=2x+3y em relação a x é
\frac{\partial u}{\partial x}=2.
Logo,
f_x(x,y) = g'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} = 10\,(2x+3y)^{9}\cdot 2 = 20\,(2x+3y)^{9}.

Passo 3

Para calcular a derivada parcial em y, seguimos o mesmo procedimento:
  1. Mantemos g'(u)=10\,u^{9}.
  2. A derivada de u(x,y)=2x+3y em relação a y é
\frac{\partial u}{\partial y}=3.
Portanto,
f_y(x,y) = g'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} = 10\,(2x+3y)^{9}\cdot 3 = 30\,(2x+3y)^{9}.

Resposta

f_x(x,y) = 20\,(2x+3y)^{9} f_y(x,y) = 30\,(2x+3y)^{9}

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