Faça o que se pede:
(a) Calcule a derivada direcional
, onde
e
é o versor de
. Interprete fisicamente o resultado.
(b) No ponto
, determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento e o valor da taxa de variaçāo em tal vetor. Justifique a sua resposta.
(a) Calcule a derivada direcional
(b) No ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede em
:
– (a) a derivada direcional na direção do versor de , ou seja
com
;
– (b) o vetor de direção e sentido de maior crescimento ali e a taxa correspondente.
Vamos usar o conceito de gradiente e de derivada direcional
.
– (a) a derivada direcional na direção do versor de
– (b) o vetor de direção e sentido de maior crescimento ali e a taxa correspondente.
Vamos usar o conceito de gradiente
Passo 2
Calcular o gradiente de
. Defina
. Então
Temos
Pelo efeito cadeia,
Logo
Passo 3
Avaliar o gradiente em
.
Aqui . Então
Aqui
Passo 4
Determinar o versor
A derivada direcional é
Passo 5
Interpretação física: ao deslocar-se de forma unitária na direção de
, a função
cresce à razão de
naquele ponto.
Passo 6
O gradiente em
, que é
, aponta na direção de máximo crescimento. A magnitude desse vetor
é a taxa de variação máxima de
em
.
Resposta
(a)
(b) O vetor de maior crescimento é e a taxa máxima de variação em tal vetor é
.
(b) O vetor de maior crescimento é