(2,0) Faça o que se pede:
(a) Calcule a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,1), onde f(x, y)=(x y-3 x)^{2}+y^{2} e \vec{u} é o versor de \vec{v}=(1,2). Interprete fisicamente o resultado.
(b) No ponto (0,1), determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento e o valor da taxa de variaçāo em tal vetor. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = (x\,y - 3x)^{2} + y^{2}
e pede em (0,1):
– (a) a derivada direcional na direção do versor de \vec{v}=(1,2), ou seja \dfrac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,1) com \vec{u}=\vec{v}/\|\vec{v}\|;
– (b) o vetor de direção e sentido de maior crescimento ali e a taxa correspondente.
Vamos usar o conceito de gradiente \nabla f e de derivada direcional \partial f/\partial\vec{u}=\nabla f\cdot\vec{u}.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Defina g(x,y)=x\,y-3x = x(y-3). Então
f(x,y)=g(x,y)^{2}+y^{2}.
Temos
\frac{\partial g}{\partial x} = y-3, \quad \frac{\partial g}{\partial y} = x.
Pelo efeito cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = 2\,g\;\frac{\partial g}{\partial x} = 2\,(x\,y-3x)\,(y-3),
\frac{\partial f}{\partial y} = 2\,g\;\frac{\partial g}{\partial y} + 2y = 2\,(x\,y-3x)\,x + 2y.
Logo
\nabla f(x,y) = \bigl(2\,(x\,y-3x)\,(y-3),\;2\,(x\,y-3x)\,x + 2y\bigr).

Passo 3

Avaliar o gradiente em (0,1).
Aqui x\,y-3x = 0\cdot1 -3\cdot0 = 0. Então
\nabla f(0,1) = \bigl(2\cdot0\cdot(-2),\;2\cdot0\cdot0 + 2\cdot1\bigr) = (0,2).

Passo 4

Determinar o versor
\vec{u} = \frac{1}{\|\,(1,2)\,\|}(1,2) = \frac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}(1,2) = \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\tfrac{2}{\sqrt{5}}\bigr).
A derivada direcional é
\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,1) = \nabla f(0,1)\cdot\vec{u} = (0,2)\cdot\bigl(\tfrac{1}{\sqrt5},\tfrac{2}{\sqrt5}\bigr) = \frac{0 + 4}{\sqrt5} = \frac{4}{\sqrt5}.

Passo 5

Interpretação física: ao deslocar-se de forma unitária na direção de \vec{u}, a função f cresce à razão de \tfrac{4}{\sqrt5} naquele ponto.

Passo 6

O gradiente em (0,1), que é \nabla f(0,1)=(0,2), aponta na direção de máximo crescimento. A magnitude desse vetor
\|\nabla f(0,1)\| = \sqrt{0^{2}+2^{2}} = 2
é a taxa de variação máxima de f em (0,1).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(0,1)=\frac{4}{\sqrt5}.
(b) O vetor de maior crescimento é \nabla f(0,1)=(0,2) e a taxa máxima de variação em tal vetor é \|\nabla f(0,1)\|=2.

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