(2.0) Determine as equaçōes do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y)=\frac{x^{2}+y}{1+y^{2}} no ponto (1,-1, f(1,-1)).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico de
f(x,y)=\frac{x^{2}+y}{1+y^{2}}
no ponto (1,-1,f(1,-1)). Para isso, vamos calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y, avaliar em (1,-1) e usar a fórmula do plano tangente
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0)
e, em seguida, obter a reta normal a partir do vetor normal ao plano.

Passo 2

Calcular f(1,-1):
f(1,-1)=\frac{1^{2}+(-1)}{1+(-1)^{2}} =\frac{1-1}{1+1} =\frac{0}{2} =0.
Logo o ponto de tangência é (1,-1,0).

Passo 3

Calcular a derivada parcial em x:
f_x(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\frac{x^{2}+y}{1+y^{2}}\Bigr) =\frac{2x\,(1+y^{2})-0}{(1+y^{2})^{2}} =\frac{2x}{1+y^{2}}.
Em (1,-1) vem
f_x(1,-1)=\frac{2\cdot1}{1+(-1)^{2}} =\frac{2}{2} =1.

Passo 4

Calcular a derivada parcial em y:
f_y(x,y) =\frac{(1+y^{2})\cdot1-(x^{2}+y)\cdot2y}{(1+y^{2})^{2}} =\frac{1+y^{2}-2y(x^{2}+y)}{(1+y^{2})^{2}}.
Em (1,-1) temos x^{2}+y=1-1=0 e 1+y^{2}=2, então
f_y(1,-1)=\frac{2-2\cdot(-1)\cdot0}{2^{2}} =\frac{2}{4} =\tfrac12.

Passo 5

Escrevendo o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,-1,0):
z-0 = 1\,(x-1)+\tfrac12\,(y+1),
ou seja,
z = x-1 + \tfrac12y + \tfrac12 = x + \frac{y}{2} - \frac12.

Passo 6

O vetor normal ao plano é (f_x,f_y,-1)=(1,\tfrac12,-1). As equações paramétricas da reta normal, tomando parâmetro t, são
x = 1 + t,\quad y = -1 + \tfrac12\,t,\quad z = 0 - t = -t.

Resposta

Plano tangente:
z = x + \frac{y}{2} - \frac12.
Reta normal:
x = 1 + t,\quad y = -1 + \frac{1}{2}t,\quad z = -t.

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