Considere a função dada por , onde g e h são funções quadráticas. Se f é uma função contínua e derivável, escreva expressões para g e h de forma que as
retas de equações y=2 x+1 e y=x+7 sejam tangentes ao gráfico de f em x0=-1 e x1=2, respectivamente.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= g(x),&x<1, h(x),&x>=1,
onde g e h são quadráticas. Queremos que f seja contínua e derivável em x=1 e que as retas
y=2x+1e y=x+7
sejam tangentes ao gráfico de f em x0=-1 e x1=2, respectivamente.
Conteúdo: definição de tangente (condições de valor e de derivada), continuidade e suavidade de funções por partes, álgebra para resolver sistemas lineares.
Passo 2
Escrevemos as quadráticas em forma geral:
g(x)=ax^2+bx+c, h(x)=Ax^2+Bx+C
Para a reta y=2x+1 ser tangente em x0=-1 (ramo g), impomos
g(-1)=2(-1)+1=-1,
g'(-1)=2
Para a reta y=x+7 ser tangente em x1=2 (ramo h), impomos
h(2)=2+7=9,
h'(2)=1
Passo 3
Para garantir continuidade e derivabilidade em x=1, impomos
g(1)=h(1),
g'(1)=h'(1)
Passo 4
Das condições em x0=-1 temos
g(-1)=-a -b +c=-1, g'(-1)=-2a+b=2
Da segunda equação b=2+2a. Substituindo em -a-(2+2a)+c=-1 dá c=3a+1.
Das condições em x1=2 temos
h(2)=4A+2B+C=9, h'(2)=4A+B=1
Da segunda B=1-4A. Substituindo em 4A+2(1-4A)+C=9 obtemos C=4A+7.
Passo 5
Agora as condições em x=1:
g(1)=a+b+c=6a+3, h(1)=A+B+C=A+8
Então 6a+3=A+8implies A=6a-5.
E
g'(1)=2a+b=4a+2, h'(1)=2A+B=1-2A
Logo 4a+2=1-2Aimplies A=-tfrac12-2a.
Igualando as duas expressões para A achamos