Encontre valores para os parâmetros em cada item para que a função

Passo 1

O enunciado dá uma função em três trechos
f(x)= x(x-1),&x<a, b,x+c,&a<= x<d, 10-(x-7)(x-8),&x>= d
e pede que ela seja contínua e derivável em toda a reta. Para isso precisamos igualar valor e derivada nos pontos de transição x=a e x=d.

Passo 2

Em x=a temos continuidade e derivabilidade entre o primeiro e o segundo trecho.
Continuidade:
limxto a^-x(x-1)=limxto a^+(b,x+c) Longrightarrow a(a-1)=b,a+c
Derivabilidade:
limxto a^-f'(x)=limxto a^+f'(x) Longrightarrow 2a-1=b
Da segunda equação já vem
b=2a-1
Substituindo em a(a-1)=b,a+c
a^2-a=(2a-1)a+c Longrightarrow c=a^2-a-(2a^2-a)=-a^2

Passo 3

Em x=d igualamos o segundo e o terceiro trecho.
Derivabilidade:
b=f'meio(d)=f'terceiro(d) Longrightarrow b=-2d+15
Já sabemos que b=2a-1, então
2a-1=-2d+15 Longrightarrow a+d=8

Passo 4

Agora a continuidade em x=d:
b,d+c=;10-(d-7)(d-8)=-d^2+15d-46
Substituindo b=2a-1, c=-a^2 e d=8-a, obtemos a equação em a:
(2a-1)(8-a)-a^2=-,(8-a)^2+15(8-a)-46
que se reduz a
a^2-8a+9=0 Longrightarrow a=4pmraiz7

Passo 5

Como faz sentido ter a<d (senão o trecho do meio ficaria “invertido”), escolhemos
a=4-raiz7, d=8-a=4+raiz7
Logo
b=2a-1=7-2raiz7, c=-a^2=-(23-8raiz7)

Resposta

a=4-raiz7, b=7-2raiz7, c=-(23-8raiz7), d=4+raiz7

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