Considere os pontos (1,1),(3,7), e (5, k). Assuma que as parábolas de equações y=f(x) e x=g(y) passam pelos três pontos. Encontre um valor de k tal que as parábolas não tenham um quarto ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado dá três pontos (1,1), (3,7) e (5,k) e diz que passam por eles duas parábolas: uma vertical de equação y=f(x) e outra horizontal de equação x=g(y). Como duas curvas quadráticas podem ter até quatro interseções e já temos três pontos em comum, queremos que não haja uma quarta interseção distinta. Para isso, basta forçar que uma das intersecções seja dupla (tangência), de modo que só tenhamos três pontos diferentes.

Passo 2

Determinar
Subtraindo as duas primeiras equações obtemos (4a+b=3]. Daí

Passo 3

Determinar g(y)=Ey^2+Fy+G usando
g(1)=E+F+G=1, g(7)=49E+7F+G=3, g(k)=Ek^2+Fk+G=5
Resolvendo, chega-se a
E=13-k3,(k-1)(k-7), F=1-24E3, G=1-E-F

Passo 4

Para forçar tangência em um dos três pontos basta exigir que as derivadas coincidam reciprocamente ali. Por exemplo, no ponto (1,1) temos
f'(x)=2ax+bimplies f'(1)=25-k4, g'(y)=2Ey+Fimplies g'(1)=1-18E3
A condição de tangência é
f'(1) cdot g'(1)=1
Substituindo a e E e simplificando, obtemos a equação cúbica
k^3-15k^2-117k+1859=0,
cuja raiz relevante (não degenerando f ou g) é
k=-11
(As outras soluções levam a a=0 ou a polo em g, i.e.\ parábolas degeneradas.)

Resposta

k=-11 faz com que as parábolas sejam tangentes em um dos três pontos e, portanto, não tenham uma quarta interseção distinta.

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