Considere a funçāo dada por
.
Podemos afirmar que a funçāo
:
O é crescente no intervalo
O é decrescente no intervalo
O tem concavidade para cima em
Podemos afirmar que a funçāo
O é crescente no intervalo
O é decrescente no intervalo
O tem concavidade para cima em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
. Nosso objetivo é analisar o comportamento dessa função em termos de crescimento, decrescimento e concavidade. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
.
A função é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos dados:
e
.
Para
:
-
é negativo. -
é positivo. -
é negativo. - Portanto,
é negativo. -
é positivo. - A soma dos dois termos dependente do valor de
, mas em geral, tende a ser positivo nesse intervalo, indicando que a função é crescente.
Para
:
-
é positivo. -
e são positivos. - Portanto,
e são negativos. - A soma dos dois termos é negativa, indicando que a função é decrescente nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos verificar a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada
.
A primeira derivada é:
Calculando a segunda derivada:
Analisando o sinal de
no intervalo
:
-
é negativo. -
é negativo, então é negativo. -
é positivo, então é positivo. - A soma depende dos valores, mas a concavidade para cima ocorre quando
.
Resposta
A função
é crescente no intervalo
, é decrescente no intervalo
e tem concavidade para cima em
.