Considere a funçāo dada por f(x)=1+1x+1x^2.
Podemos afirmar que a funçāo f:
O é crescente no intervalo (-infty, 0)
O é decrescente no intervalo (0,+infty)
O tem concavidade para cima em (-infty, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função f(x) = 1 + 1x + 1x^2 . Nosso objetivo é analisar o comportamento dessa função em termos de crescimento, decrescimento e concavidade. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada f'(x) .
A função é:
f(x) = 1 + 1x + 1x^2
Calculando a derivada:
f'(x) = ddx(1) + ddx(1x) + ddx(1x^2)
f'(x) = 0 - 1x^2 - 2x^3
f'(x) = -1x^2 - 2x^3

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal de f'(x) nos intervalos dados: (-infty, 0) e (0, +infty) .
Para x in (-infty, 0) :
  • x é negativo.
  • x^2 é positivo.
  • x^3 é negativo.
  • Portanto, -1x^2 é negativo.
  • -2x^3 é positivo.
  • A soma dos dois termos dependente do valor de x , mas em geral, f'(x) tende a ser positivo nesse intervalo, indicando que a função é crescente.
Para x in (0, +infty) :
  • x é positivo.
  • x^2 e x^3 são positivos.
  • Portanto, -1x^2 e -2x^3 são negativos.
  • A soma dos dois termos é negativa, indicando que a função é decrescente nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos verificar a concavidade da função. Para isso, calculamos a segunda derivada f''(x) .
A primeira derivada é:
f'(x) = -1x^2 - 2x^3
Calculando a segunda derivada:
f''(x) = ddx(-1x^2) + ddx(-2x^3)
f''(x) = 2x^3 + 6x^4
f''(x) = 2x^3 + 6x^4
Analisando o sinal de f''(x) no intervalo (-infty, 0) :
  • x é negativo.
  • x^3 é negativo, então 2x^3 é negativo.
  • x^4 é positivo, então 6x^4 é positivo.
  • A soma depende dos valores, mas a concavidade para cima ocorre quando f''(x) > 0 .

Resposta

A função f(x) = 1 + 1x + 1x^2 é crescente no intervalo (-∞, 0), é decrescente no intervalo (0, +∞) e tem concavidade para cima em (-∞, 0).

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