Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x.
y=llbracket x rrbracket, x=1, x=6, y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=llbracket xrrbracket, x=1, x=6 e y=0 em torno do eixo x. Este é um problema de volume de revolução, que vamos resolver pelo método dos discos (lavadoras).

Passo 2

Pelo método das lavadoras, a área do disco em x é
pil(Rext^2 - Rint^2r)
com Rext=llbracket xrrbracket e Rint=0. Logo o volume é
V = integral1^6 pil(llbracket xrrbracket^2 - 0^2r),dx
Como 0^2=0, isso se simplifica para
V = piintegral1^6 llbracket xrrbracket^2,dx

Passo 3

A função llbracket xrrbracket é constante e igual a n em cada intervalo [n,n+1) para n=1,2,3,4,5. Assim podemos particionar a integral:
V = pi sumn=1^5integraln^n+1n^2,dx

Passo 4

Em cada intervalo integraln^n+1n^2,dx = n^2cdotl((n+1)-nr)=n^2. Portanto precisamos calcular
sumn=1^5n^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55
Substituindo em V, obtemos
V = pi times 55 = 55pi

Resposta

55pi

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