Integre 12 pi ointC x d y-y d xx^2+y^2 no sentido antihorário ao redor de:
da borda da região delimitada por 0 <= x^2+y^2 <= 2, y >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
12piointCx,dy - y,dxx^2+y^2
onde C é o contorno orientado no sentido anti-horário da região (x,y)mid 0<= x^2+y^2<=2,;y>=0.
O conteúdo que vamos usar é que, em coordenadas polares (r,theta),
x,dy - y,dx = r^2,dtheta,
logo
x,dy - y,dxx^2+y^2 = dtheta

Passo 2

Descriminamos C em duas partes que juntas formam o contorno anti-horário:
  1. C1: semicircunferência de raio raiz2, com theta indo de 0 a pi.
  2. C2: o diâmetro sobre o eixo x, de (-,raiz2,0) a (raiz2,0).

Passo 3

Na semicircunferência C1, temos r=raiz2 constante e theta de 0 a pi. Então
integralC1x,dy - y,dxx^2+y^2 =integral0^pidtheta =pi

Passo 4

No diâmetro C2 sobre y=0, o ângulo polar theta vale pi para x<0 e 0 para x>0, ambos constantes. Logo em cada trecho dtheta=0 e
integralC2x,dy - y,dxx^2+y^2 =0

Passo 5

Somando as partes:
ointCx,dy - y,dxx^2+y^2 =pi + 0 = pi
Portanto
12piointCx,dy - y,dxx^2+y^2 =12pi,pi =12

Resposta

tfrac12

Exercícios relacionados