Reescreva a integral dupla em uma única integral. Esboce a região completa de integração e inverta a ordem da mesma.
integral0^1 integral0^y f(x, y) d x d y+integral1^2 integral0^2-y f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado dá duas integrais
integral0^1!integral0^yf(x,y),dx,dy e integral1^2!integral0^2-yf(x,y),dx,dy
e pede (1) unir numa única integral dupla sobre a região R, (2) esboçar R e (3) inverter a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas.

Passo 2

Vamos entender a região original como a união de
R1=(x,y)mid 0<= y<=1,;0<= x<= y, R2=(x,y)mid 1<= y<=2,;0<= x<=2-y
Logo a região total é
R=R1cup R2

Passo 3

Podemos então escrever a integral dada como
integral duplaRf(x,y),dx,dy

Passo 4

Esboço de R: no plano xy, a fronteira de R é formada por
x=0, y=x;(de (0,0) a (1,1)), x+y=2;(de (1,1) a (0,2))
Isto é um triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (0,2).

Passo 5

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo x. Observa-se que
0<= x<=1,
e para cada x fixo y varia entre a reta inferior y=x e a reta superior y=2-x.

Passo 6

Portanto a integral com ordem invertida é
integralx=0^1!integraly=x^,2-xf(x,y),dy,dx

Resposta

integral duplaRf(x,y),dx,dy = integral0^1!integralx^2-xf(x,y),dy,dx,
onde R é o triângulo de vértices (0,0), (1,1), (0,2).

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