Considere a função
dada por
.
a) Mostre que a derivada de
satisfaz
.
b) Determine as soluções da equação
no intervalo
. Justifique sua resposta.
a) Mostre que a derivada de
b) Determine as soluções da equação
Passo 1
A função dada é
definida por
. O conteúdo aqui envolve derivada de função composta, exponencial e seno. Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de
para mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, simplificamos
usando
:
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para
, onde
. Sabemos que:
Passo 4
Calculamos
. Como
, temos:
Passo 5
Logo,
como queríamos.
Passo 6
Para resolver
no intervalo
, notamos que
para todo
. Portanto a única forma de
é fazendo
Isso ocorre quando
Passo 7
Ficamos com os valores de
em
. Para
vem
. Para
vem
. Para
ou
sai fora do intervalo. Portanto as soluções são
e
.
Resposta
{,\pi/4,,3\pi/4}