Considere a função f: R R dada por f(x)=raize^sen(2 x).
a) Mostre que a derivada de f satisfaz f^prime(x)=f(x) cos (2 x).
b) Determine as soluções da equação f^prime(x)=0 no intervalo [0, pi]. Justifique sua resposta.

Passo 1

A função dada é f: R to R definida por f(x)=raize^sin(2x). O conteúdo aqui envolve derivada de função composta, exponencial e seno. Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de e^u para mostrar que f'(x)=f(x)cos(2x).

Passo 2

Primeiro, simplificamos f(x) usando raizA=A^1/2:
f(x)=l(e^sin(2x)r)^1/2=e^12sin(2x)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=e^g(x), onde g(x)=tfrac12sin(2x). Sabemos que:
ddxe^g(x)=e^g(x)cdot g'(x)

Passo 4

Calculamos g'(x). Como g(x)=tfrac12sin(2x), temos:
g'(x)=tfrac12cdotddx[sin(2x)] =tfrac12cdotcos(2x)cdot2 =cos(2x)

Passo 5

Logo,
f'(x)=e^g(x)cdot g'(x) =e^12sin(2x)cdotcos(2x) =f(x)cos(2x),
como queríamos.

Passo 6

Para resolver f'(x)=0 no intervalo [0,pi], notamos que f(x)=e^12sin(2x)>0 para todo x. Portanto a única forma de f'(x)=f(x)cos(2x)=0 é fazendo
cos(2x)=0
Isso ocorre quando
2x=pi2+kpiLongrightarrow x=pi4+kpi2, kinZ

Passo 7

Ficamos com os valores de x em [0,pi]. Para k=0 vem x=pi/4. Para k=1 vem x=pi/4+pi/2=3pi/4. Para k=-1 ou k=2 sai fora do intervalo. Portanto as soluções são x=pi/4 e x=3pi/4.

Resposta

{,\pi/4,,3\pi/4}

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