Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da integral
, com
, e, quando convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve análise de comportamento em extremos (0 e
) e, para o valor, uso de mudança de variável + fórmulas de Beta/Gamma.
Passo 2
Para
, temos
. E
converge se
. Aqui já temos
, então não há problema na região perto de zero.
Para , o integrando se comporta como
. A integral
converge se o expoente for menor que -1, isto é,
, ou seja
.
Portanto, a integral converge precisamente quando . Como
, isso exige que
e
.
Para
Portanto, a integral converge precisamente quando
Passo 3
Para calcular o valor quando
, fazemos a mudança de variável
, de modo que:
Substituindo na integral:
Passo 4
A integral
vale
sempre que
. Aqui
. A condição
equivale a
, i.e.
, em acordo com antes. Logo:
Passo 5
Como o integrando é não negativo, toda convergência é absoluta. Ou seja, quando
e
, a integral é absolutamente convergente.
Resposta
A integral
converge (e absolutamente converge) se, e somente se,
e
. Nesse caso, vale: