Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^infty x^alpha1+x^beta d x, alpha, beta>0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da integral integral0^infty x^alpha1+x^beta,dx, com alpha,beta>0, e, quando convergente, calcular seu valor. O conteúdo envolve análise de comportamento em extremos (0 e infty) e, para o valor, uso de mudança de variável + fórmulas de Beta/Gamma.

Passo 2

Para xto0, temos x^alpha1+x^betasim x^alpha. E integral0^epsilon x^alpha,dx converge se alpha>-1. Aqui já temos alpha>0, então não há problema na região perto de zero.
Para xtoinfty, o integrando se comporta como x^alpha-beta. A integral integralR^infty x^alpha-beta,dx converge se o expoente for menor que -1, isto é, alpha-beta< -1, ou seja alpha.
Portanto, a integral converge precisamente quando alpha. Como alpha>0, isso exige que beta>1 e alpha.

Passo 3

Para calcular o valor quando alpha, fazemos a mudança de variável t=x^beta, de modo que:
t = x^beta, x = t^1/beta, dx = 1beta,t^1beta-1dt
Substituindo na integral:
integral0^inftyx^alpha1+x^beta,dx = integral0^inftyt^alpha/beta1+tcdot1beta,t^1beta-1dt = 1betaintegral0^inftyt^alpha+1beta-11+tdt

Passo 4

A integral integral0^infty t^u-1/(1+t),dt vale pi/sin(pi u) sempre que 0. Aqui u=(alpha+1)/beta. A condição 0 equivale a 0, i.e. alpha, em acordo com antes. Logo:
integral0^inftyx^alpha1+x^beta,dx = 1beta,pisinl(alpha+1betapir) = pibetasin!l(tfracalpha+1betapir)

Passo 5

Como o integrando é não negativo, toda convergência é absoluta. Ou seja, quando beta>1 e alpha, a integral é absolutamente convergente.

Resposta

A integral integral0^infty x^alpha1+x^beta,dx converge (e absolutamente converge) se, e somente se, beta>1 e alpha. Nesse caso, vale:
integral0^inftyx^alpha1+x^beta,dx = pibetasinl(tfracalpha+1betapir)

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