Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^1 d xraizx+x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria integral0^1dxraizx+x^2, que apresenta uma singularidade em x=0. O conteúdo principal aqui é análise de convergência de integrais impróprias e uso de substituição trigonométrica para cálculo.

Passo 2

Reescrevendo o radicando, temos x+x^2=x(1+x). Assim a integranda fica dfrac1raizx,raiz1+x. Perto de x=0 esse termo se comporta como x^-1/2, cujo integral em 0 é finito, então a integral converge nesse ponto. No ponto x=1 não há problema de convergência.

Passo 3

Para calcular o valor exato, usamos a substituição trigonométrica x=tan^2theta. Logo raizx=tantheta, raiz1+x=sectheta e podemos encontrar dx. Com x=tan^2theta obtemos
dx = 2tantheta,sec^2theta,dtheta
Substituindo na integral e ajustando os limites de theta de 0 a pi/4, chega-se a
I = integral0^pi/4 2sectheta,dtheta

Passo 4

A primitiva de sectheta é ln|sectheta + tantheta|. Logo
I = 2l[ln(sectheta + tantheta)r]0^pi/4 = 2ln(1+raiz2) Como a integranda é positiva em todo o intervalo, a integral é também absolutamente convergente.

Resposta

A integral é convergente e absolutamente convergente, e seu valor é 2ln(1+raiz2).

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