Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria
, que apresenta uma singularidade em
. O conteúdo principal aqui é análise de convergência de integrais impróprias e uso de substituição trigonométrica para cálculo.
Passo 2
Reescrevendo o radicando, temos
. Assim a integranda fica
. Perto de
esse termo se comporta como
, cujo integral em 0 é finito, então a integral converge nesse ponto. No ponto
não há problema de convergência.
Passo 3
Para calcular o valor exato, usamos a substituição trigonométrica
. Logo
,
e podemos encontrar
. Com
obtemos
Substituindo na integral e ajustando os limites de
de 0 a
, chega-se a
Passo 4
A primitiva de
é
. Logo
Resposta
A integral é convergente e absolutamente convergente, e seu valor é
.