Considere e a função dada por e para .
a) Dado , um vetor não nulo, verifique se a função é contínua em .
Resposta: É contínua, pois .
b) Verifique se existe o limite .
Resposta: Como , o limite não existe.
c) Decida se vale a afirmação:
Resposta: A afirmação é a definição de continuidade na origem. Ela não vale pois não é contínua, pela regra dos dois caminhos e os itens acima.
d) Caso existam, calcule as derivadas e , usando a definição.
Resposta:
e) Caso exista, determine o plano tangente ao gráfico de em .
Resposta: Não existe, pois não é contínua em , logo não é diferenciável em .
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de uma função
A gente vai mexer com limites (em uma e duas variáveis), continuidade, derivadas parciais pela definição e plano tangente. Então, vamos precisar:
• Definição de limite e continuidade em pontos.
• Como testar limite por caminhos.
• Definição de derivada parcial em (0,0).
• A fórmula do plano tangente a partir das derivadas.
Passo 2
Parte (a): g(t)=f(a t,b t). Queremos ver se g é contínua em t=0.
Definição de continuidade em variável real: g é contínua se .
Temos g(0)=f(0,0)=0. Para t≠0,
Se b≠0, quando t→0 o denominador →b≠0 e o numerador →0 (porque |t|^{1/2}→0). Logo .
Se b=0 então g(t)=f(a t,0)=0/(,a2t2+0)=0 e de novo g é zero em todo lugar, logo contínua.
Conclusão: , ou seja, g é contínua em 0.
é justamente a definição de continuidade de f em (0,0). Mas a gente viu em (b) que f não tem limite unificado chegando em (0,0) (pelo caminho t↦(t,t^2)), então f não é contínua lá. Logo essa afirmação não vale.
Passo 5
Parte (d): derivadas parciais em P₀=(0,0) pela definição
Como para qualquer h≠0 temos f(h,0)=\tfrac{h\sqrt{|0|}}{h^2+0}=0 e f(0,h)=\tfrac{0\cdot\sqrt{|h|}}{0+h}=0, cada quociente é 0/h=0.
Logo
fx(0,0)=0, fy(0,0)=0
Passo 6
Parte (e): plano tangente em (0,0) de uma função diferenciável seria
z =f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y =0+0cdot x+0cdot y=0
Mas como f não é contínua em (0,0), ela não é diferenciável ali e, por isso, não existe plano tangente de fato.
Resposta
a) g(t) é contínua em t=0.
b) limtto0f(t,t^2)não existe.
c) A afirmação não vale (f não é contínua em (0,0)).
d) fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.
e) Não existe plano tangente em P0.