Considere P0=(0,0) e a função f: R^2 R dada por f(P0)=0 e f(x, y)=x raiz|y|x^2+y para (x, y) neq P0.
a) Dado v=(a, b) in R^2, um vetor não nulo, verifique se a função g(t)=f(a t, b t) é contínua em t=0.
Resposta: É contínua, pois lim t 0 g(t)=0=g(0).
b) Verifique se existe o limite lim t 0 f(t, t^2).
Resposta: Como lim t 0^+ f(t, t^2)=1 / 2 e lim t 0^- f(t, t^2)=-1 / 2, o limite não existe.
c) Decida se vale a afirmação:
forall varepsilon>0, exists de<a>0:|P|<de<a Rightarrow|f(P)|<varepsilon
Resposta: A afirmação é a definição de continuidade na origem. Ela não vale pois f não é contínua, pela regra dos dois caminhos e os itens acima.
d) Caso existam, calcule as derivadas fx(P0) e fy(P0), usando a definição.
Resposta: fx(P0)=fy(P0)=0
e) Caso exista, determine o plano tangente ao gráfico de f em P0.
Resposta: Não existe, pois f não é contínua em P0, logo não é diferenciável em P0.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de uma função
fcolonR^2toR, f(0,0)=0, f(x,y)=xraiz|y|x^2+yse (x,y)neq(0,0)
A gente vai mexer com limites (em uma e duas variáveis), continuidade, derivadas parciais pela definição e plano tangente. Então, vamos precisar:
• Definição de limite e continuidade em pontos.
• Como testar limite por caminhos.
• Definição de derivada parcial em (0,0).
• A fórmula do plano tangente a partir das derivadas.

Passo 2

Parte (a): g(t)=f(a t,b t). Queremos ver se g é contínua em t=0.
  1. Definição de continuidade em variável real: g é contínua se limtto0g(t)=g(0).
  2. Temos g(0)=f(0,0)=0. Para t≠0,
g(t)=f(a t,b t) =a traiz|b,t|(a t)^2+(b t) =araiz|b|,t,|t|^1/2t,(a^2t+b) =araiz|b|,|t|^1/2a^2t+b,
  1. Se b≠0, quando t→0 o denominador →b≠0 e o numerador →0 (porque |t|^{1/2}→0). Logo   limtto0g(t)=0.
    Se b=0 então g(t)=f(a t,0)=0/(,a2t2+0)=0 e de novo g é zero em todo lugar, logo contínua.
    Conclusão: limtto0g(t)=0=g(0), ou seja, g é contínua em 0.

Passo 3

Parte (b): [\displaystyle\lim_{t\to0}f(t,t^2)).
  1. Substituindo:
  1. Observe os limites laterais:
    .
Como são diferentes, o limite não existe.]

Passo 4

Parte (c):
A afirmação
forallvarepsilon>0,;existsde<a>0:|P|<de<aimplies|f(P)|<varepsilon
é justamente a definição de continuidade de f em (0,0). Mas a gente viu em (b) que f não tem limite unificado chegando em (0,0) (pelo caminho t↦(t,t^2)), então f não é contínua lá. Logo essa afirmação não vale.

Passo 5

Parte (d): derivadas parciais em P₀=(0,0) pela definição
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h, fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h
Como para qualquer h≠0 temos f(h,0)=\tfrac{h\sqrt{|0|}}{h^2+0}=0 e f(0,h)=\tfrac{0\cdot\sqrt{|h|}}{0+h}=0, cada quociente é 0/h=0.
Logo
fx(0,0)=0, fy(0,0)=0

Passo 6

Parte (e): plano tangente em (0,0) de uma função diferenciável seria
z =f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y =0+0cdot x+0cdot y=0
Mas como f não é contínua em (0,0), ela não é diferenciável ali e, por isso, não existe plano tangente de fato.

Resposta

a) g(t) é contínua em t=0.
b) limtto0f(t,t^2) não existe.
c) A afirmação não vale (f não é contínua em (0,0)).
d) fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.
e) Não existe plano tangente em P0.

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