Mostre que:
Se p>0, então lim 1n^p=0 e lim n^p=+infty (Utilizar a respectiva definição).

Passo 1

O enunciado pede pra provar que, para p>0,
limntoinfty1n^p=0 e limntoinftyn^p=+infty,
usando as definições formais de limite de sequência.
Conteúdo da matéria: Limites de Sequências.
Vamos precisar de:
• Definição de convergência ( varepsilon N).
• Definição de divergência para +infty ( M N).
• Manipular desigualdades com potências.

Passo 2

Provar que limntoinfty1n^p=0.
Pela definição de limite, dizer que lim an=L significa:
para todo varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>= N,
|an-L|<varepsilon
Aqui an=1n^p e L=0, então queremos
l|1n^p-0r|=1n^p<varepsilon
Isso equivale a
1n^p<varepsilon Long<=ftrightarrow n^p>1varepsilon
Como p>0 e n>0, tiramos a raiz p-ésima:
n>l(1varepsilonr)^!1/p
Basta escolher um Nin N com
N>l(1varepsilonr)^!1/p
Então, para todo n>= N, temos n^p>1/varepsilon e 1n^p<varepsilon. Logo, 1n^pto0.

Passo 3

Provar que limntoinftyn^p=+infty.
Por definição de divergência para +infty, dizemos lim an=+infty se:
para todo M>0 existe N tal que, para todo n>= N,
an>M
Aqui an=n^p, então queremos
n^p>M Long<=ftrightarrow n>M^1/p
Como p>0, escolhemos Nin N com
N>M^1/p
Para todo n>= N, n>M^1/p e assim n^p>M. Isso mostra que n^p cresce sem limite, ou seja, vai a +infty.

Resposta

boxedlimntoinfty1n^p=0 e limntoinftyn^p=+infty

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