Mostre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma sequência real
com
para todo
e que
. Queremos mostrar que
Esse resultado se baseia na continuidade da função
em
. Faremos uma prova direta usando definições de limite e manipulações algébricas.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Seja
. Como
, existe
tal que, para todo
,
Em particular, tomando o primeiro membro da minoração,
implica
logo
está bem definido e positivo.
Passo 3
Para
calculamos
Isso mostra que, sempre que
n>= N ,
l|raizan-raizar|<varepsilon , ou seja,
raizantoraiza .
Passo 4
Agora, suponha
a=0 . Então
anto0 e
an>=0 . Dado
varepsilon>0 , como
anto0 existe
N tal que, para todo
n>= N ,
isto é,
0<= an<varepsilon^2 . Daí
ou seja,
l|raizan-0r|<varepsilon . Logo
raizanto0=raiza .