Mostre que:
Se an a e an >= 0, forall n in N, então raizan raiza.

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma sequência real (an) com an>= 0 para todo n e que limntoinftyan=a. Queremos mostrar que
limntoinftyraizan=raiza
Esse resultado se baseia na continuidade da função f(x)=raizx em [0,infty). Faremos uma prova direta usando definições de limite e manipulações algébricas.

Passo 2

Suponha primeiro que a>0. Seja varepsilon>0. Como anto a, existe NinN tal que, para todo n>= N,
|an-a|<minl(a,;varepsilon,raizar)
Em particular, tomando o primeiro membro da minoração, |an-a|<a implica
an>a - |an-a|>a-a=0,
logo raizan está bem definido e positivo.

Passo 3

Para n>= N calculamos
l|raizan-raizar| =l|an-ar|raizan+raiza <=|an-a|raiza <varepsilonraizaraiza =varepsilon
Isso mostra que, sempre que n>= N, l|raizan-raizar|<varepsilon, ou seja, raizantoraiza.

Passo 4

Agora, suponha a=0. Então anto0 e an>=0. Dado varepsilon>0, como anto0 existe N tal que, para todo n>= N,
|an-0|<varepsilon^2,
isto é, 0<= an<varepsilon^2. Daí
0<=raizan<varepsilon,
ou seja, l|raizan-0r|<varepsilon. Logo raizanto0=raiza.

Resposta

limntoinftyraizan=raiza

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