Considere
e a função
dada por
e
para
.
a) Dado
, um vetor não nulo, verifique se a função
é contínua em
.
b) Verifique se existe o limite
.
a) Dado
b) Verifique se existe o limite
Passo 1
O enunciado diz que temos [P_{0}=(0,0)) e
(a) Para um vetor (v=(a,b)\neq(0,0)], queremos ver se
é contínua em
.
(b) Queremos também descobrir se existe
(b) Queremos também descobrir se existe
O conteúdo principal aqui é noção de limite e continuidade de função de uma variável, regras de quociente, produto e valor absoluto.]
Passo 2
Item (a): primeiro notamos que, por definição,
Para
tneq0 , calculamos
No denominador podemos fatorar
t :
logo
Passo 3
Agora, como
vneq(0,0) , ou
bneq0 ou
aneq0 , o denominador
a^2t+b não zera para
t perto de
0 .
– Sebneq0 ,
a^2t+bto bneq0 .
– Seb=0 , então
aneq0 e
a^2t+b=a^2tneq0 para
tneq0 .
Em qualquer caso, ao fazermostto0 , o numerador
araiz|b|raiz|t|to0 e o denominador tende a um valor não nulo.
Logo
– Se
– Se
Em qualquer caso, ao fazermos
Logo
o que mostra que
g é contínua em
t=0 .
Passo 4
Item (b): para
tneq0 trocamos
(x,y)=(t,t^2) em
f :
Agora, se
t>0 ,
|t|=t e
f(t,t^2)=+tfrac12 .
Set<0 ,
|t|=-t e
f(t,t^2)=-tfrac12 .
Se
Passo 5
Como o limite vindo da direita é
+tfrac12 e o da esquerda é
-tfrac12 , eles não coincidem. Portanto
não existe.
Resposta
a)
g(t)=f(at,bt) é contínua em
t=0 , pois
limtto0g(t)=0=g(0) .
b)limtto0f(t,t^2) não existe (limites laterais diferentes).
b)