Considere P0=(0,0) e a função f: R^2 R dada por f(P0)=0 e f(x, y)=x raiz|y|x^2+y para (x, y) neq P0.
a) Dado v=(a, b) in R^2, um vetor não nulo, verifique se a função g(t)=f(a t, b t) é contínua em t=0.
b) Verifique se existe o limite lim t 0 f(t, t^2).

Passo 1

O enunciado diz que temos [P_{0}=(0,0)) e
(a) Para um vetor (v=(a,b)\neq(0,0)], queremos ver se
é contínua em .
(b) Queremos também descobrir se existe
O conteúdo principal aqui é noção de limite e continuidade de função de uma variável, regras de quociente, produto e valor absoluto.]

Passo 2

Item (a): primeiro notamos que, por definição,
g(0)=f(0,0)=0
Para tneq0, calculamos
g(t)=f(a,t,b,t) =(a,t),raiz|b,t|(a,t)^2+b,t =a,t,raiz|b|,|t|a^2t^2+b,t
No denominador podemos fatorar t:
a^2t^2+b,t = t,(a^2t+b),
logo
g(t) =araiz|b|,traiz|t|t,(a^2t+b) =araiz|b|,raiz|t|,a^2t+b,

Passo 3

Agora, como vneq(0,0), ou bneq0 ou aneq0, o denominador a^2t+b não zera para t perto de 0.
– Se bneq0, a^2t+bto bneq0.
– Se b=0, então aneq0 e a^2t+b=a^2tneq0 para tneq0.
Em qualquer caso, ao fazermos tto0, o numerador araiz|b|raiz|t|to0 e o denominador tende a um valor não nulo.
Logo
limtto0g(t)=0=g(0),
o que mostra que g é contínua em t=0.

Passo 4

Item (b): para tneq0 trocamos (x,y)=(t,t^2) em f:
f(t,t^2) =t,raiz|t^2|t^2+t^2 =t,|t|2,t^2 =t,|t|2t^2
Agora, se t>0, |t|=t e f(t,t^2)=+tfrac12.
Se t<0, |t|=-t e f(t,t^2)=-tfrac12.

Passo 5

Como o limite vindo da direita é +tfrac12 e o da esquerda é -tfrac12, eles não coincidem. Portanto
limtto0f(t,t^2)
não existe.

Resposta

a) g(t)=f(at,bt) é contínua em t=0, pois limtto0g(t)=0=g(0).
b) limtto0f(t,t^2) não existe (limites laterais diferentes).

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