a) Construa o gráfico de f;
b) Calcule os seguintes limites, justificando suas respostas:
i) lim x 0^+ f(x)
ii) lim x 0^- f(x)
iii) lim x 0 f(x)
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= |x^2-9|, & xneq0, 9, & x=0,
e pede (a) o gráfico de f e (b) os limites limxto0^+f(x), limxto0^-f(x) e limxto0f(x).
O conteúdo envolve manipular valor absoluto de um polinômio, fazer análise de intervalos para construir o gráfico e usar definição de limite de função.
Passo 2
Para desenhar o gráfico, primeiro note que para
Logo:
Para , uma parábola voltada para baixo com vértice em e zeros em .
Para , , uma parábola voltada para cima que se iguala a zero em .
Em foi definido , que coincide com o vértice da parábola de cima.
Assim o gráfico é uma “curva em V duplo”: de até sobe como , de a desce como até o vértice , e depois sobe de em diante como .
Passo 3
Para xto0^+ estamos em |x|<3 e xneq0, logo
f(x)=9-x^2
Como um polinômio é contínuo,
limxto0^+f(x) =limxto0^+(9-x^2) =9-0^2 =9
Passo 4
O mesmo raciocínio vale para xto0^-: ainda |x|<3 e xneq0,
f(x)=9-x^2 Longrightarrow limxto0^-f(x)=9-0^2=9
Passo 5
Como as duas laterais coincidem em 9, a limite de xto0 também é