lim x 0 3^x+4-81x

Passo 1

Beleza, o que a questão pede? Queremos calcular
limx to 0 3^,x+4 - 81x
Isso é um problema de limites envolvendo função exponencial. Para resolver, vamos usar:
  1. Propriedade de potências: 3^x+4 = 3^4cdot3^x.
  2. A substituição 3^x = e^xln 3.
  3. O limite notável limuto0e^u-1u=1.

Passo 2

Primeiro, reescrevo 3^x+4 usando a propriedade de potências:
3^x+4 = 3^4cdot 3^x = 81cdot 3^x
Logo o numerador fica
3^x+4 - 81 = 81cdot3^x - 81 = 81l(3^x - 1r)
Então a expressão original vira
3^x+4-81x = 81,(3^x-1)x = 81;3^x - 1x

Passo 3

Agora, para lidar com 3^x-1x, uso a mudança de base para a exponencial natural:
3^x = e^xln3
Então
3^x - 1x = e^xln3 - 1x
Para aplicar o limite notável, fatoro ln3 no denominador assim:
e^xln3 - 1x = e^xln3 - 1xln3,ln3
Quando xto0, temos
e^xln3 - 1xln3 ;longrightarrow; 1 (limite notável) á
Então
limx to 03^x - 1x = 1 cdot ln3 = ln3

Passo 4

Voltando à nossa expressão com o fator 81:
limxto0 3^x+4-81x = 81 ;limxto03^x-1x = 81cdot ln3

Resposta

boxed81ln(3)

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