Considere a função f: R R dada por f(x)=cc0, & -3<x<-1 1, & -1<x<1 0, & 1<x<3 tal que satisfaz f(x+6)=f(x). Encontre a série de Fourier de f.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de uma função periódica de período
com repetição , logo .

Passo 2

Observamos que f é função par, pois f(-x)=f(x). Numa série de Fourier em funções pares temos automaticamente
bn=0forall n,
e a expansão fica
f(x)=a02+sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi x3r)

Passo 3

Calculamos a0:
a0=13integral-3^3f(x),dx
Como f(x)=1 só em -1<x<1 e zero no resto,
integral-3^3f(x),dx=integral-1^11,dx=2,
logo
a0=23

Passo 4

Calculamos an usando a paridade e o fato de f(x)=1 em |x|<1:
an=13integral-3^3f(x)cos!l(tfracnpi x3r),dx =23integral0^1cos!l(tfracnpi x3r),dx
Fazendo a integral,
integral0^1cos!l(tfracnpi x3r),dx =[3npisin!l(tfracnpi x3r)]0^1 =3npisin!l(tfracnpi3r),
portanto
an=23cdot3npisin!l(tfracnpi3r) =2npisin!l(tfracnpi3r)

Passo 5

Como já vimos, todos os bn são nulos por f ser par:
bn=0forall n

Passo 6

Substituindo em
f(x)=a02+sumn=1^inftyancos!l(tfracnpi x3r)
temos
f(x) =13 +sumn=1^infty2npisin!l(tfracnpi3r) cos!l(tfracnpi x3r)

Resposta

boxed f(x) =13 +sumn=1^infty2npisin!l(tfracnpi3r), cos!l(tfracnpi x3r)

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