Nos itens abaixo, escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada. 2, & 0 <= t<3 -2, & t >= 3;

Passo 1

O enunciado dá a função a partes
f(t)= 2, & 0 <= t<3, -2, & t>=3,
e pede (a) escrevê-la em termos de funções degrau unitário u(t) e (b) encontrar sua transformada de Laplace. Vamos usar a definição de u(t-a)=0 para t<a e 1 para t>= a, além da linearidade e da fórmula do deslocamento no tempo na transformada de Laplace.

Passo 2

Para montar f(t) com degraus, note que antes de t=3 o valor é 2 e a partir de t=3 ele muda para -2. A variação é de 2to -2, isto é, um salto de -4. Logo
f(t)=2 + (-4),u(t-3)
De fato, se t<3 então u(t-3)=0 e f(t)=2; se t>=3 então u(t-3)=1 e f(t)=2-4=-2.

Passo 3

Agora usamos a linearidade da transformada de Laplace e o deslocamento em t:
L2=2s, Lu(t-3)=e^-3ss
Logo
Lf(t) =L2 + (-4),Lu(t-3) =2s - 4cdote^-3ss

Resposta

f(t)=2 - 4,u(t-3), Lf(t)=2s - 4,e^-3ss

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