Encontre os coeficientes de Fourier de f: R R, tal que f(x)=llr-x+1, & se & -1 <= x <= 0 0, & se & 0<x<1 e f(x+2)=f(x).

Passo 1

O enunciado define
e estendida com (f(x+2)=f(x)]. Queremos escrever a série de Fourier

onde

Passo 2

Como f(x)=0 para 0<x<1, todas as integrais sobre [-1,1] reduzem-se a integrais de -1 a 0. Primeiro,
a0=integral-1^0(-x+1),dx =l[-tfracx^22+xr]-1^0 =0-l(-tfrac12-1r) =tfrac32

Passo 3

Para an calculamos
an=integral-1^0(-x+1)cos(npi x),dx =integral-1^0(-x)cos(npi x),dx +integral-1^0cos(npi x),dx
Fazendo integração por partes em integral(-x)cos(npi x),dx e notando que integral-1^0cos(npi x),dx=0, obtemos
an=(-1)^n-1n^2pi^2

Passo 4

Para bn calculamos
bn=integral-1^0(-x+1)sin(npi x),dx =integral-1^0(-x)sin(npi x),dx +integral-1^0sin(npi x),dx
Novamente integrações por partes dão
bn=2(-1)^n-1npi

Resposta

Os coeficientes de Fourier de f são
a0=tfrac32, an=(-1)^n-1n^2pi^2, bn=2(-1)^n-1npi,
e assim
f(x)=34 +sumn=1^inftyl((-1)^n-1n^2pi^2cos(npi x) +2(-1)^n-1npisin(npi x)r)

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