★ Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se de
e .
Passo 2
O que é derivada parcial (lembrando com calma):
mede a taxa de variação de
quando só
muda e
fica fixo. Formalmente,
De forma parecida,
mede a variação quando só
muda. Na prática, para funções compostas como esta é mais rápido usar a regra da cadeia (vou explicar abaixo).
Passo 3
Identificar a composição para aplicar a regra da cadeia: escrevemos a função como uma exponencial composta com uma função interna:
A regra da cadeia diz que, ao derivar
em relação a uma variável, a derivada é o exponencial avaliado vezes a derivada da parte interna. Ou seja, para
,
Agora calculamos
.
Passo 4
Derivar a parte interna
em relação a
, lembrando que
é tratado como constante:
A segunda parcela é zero porque
é constante quando derivamos em relação a
. A derivada de
é
. Logo
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para obter
:
Comentário didático: o fator
veio de derivar a parte interna; o fator
é a própria função original — isso é típico quando derivamos exponenciais.
Passo 6
Agora fazemos a derivada parcial em relação a
. Pela mesma ideia, usamos a regra da cadeia:
Calculamos
: ao derivar
em relação a
, o termo
é constante (derivada zero) e a derivada de
é
. Assim
Passo 7
Aplicando na expressão:
Observe a simetria: as duas parciais têm a mesma forma, trocando
por
.
Passo 8
Interpretação rápida e exemplos numéricos para fixar (se quiser praticar na prova): em
tem-se
e
. Em
tem-se
e
. Esses cálculos mostram como o sinal e a magnitude dependem de
e
.