★ Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f(x, y)=e^{-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função \;f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}.\n
Informações dadas:
  • A função é \;f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}.
  • Precisa-se de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial (lembrando com calma): \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) mede a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. Formalmente,
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
De forma parecida, \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) mede a variação quando só y muda. Na prática, para funções compostas como esta é mais rápido usar a regra da cadeia (vou explicar abaixo).

Passo 3

Identificar a composição para aplicar a regra da cadeia: escrevemos a função como uma exponencial composta com uma função interna:
f(x,y) = e^{u(x,y)},\qquad \text{onde}\qquad u(x,y)=-x^{2}-y^{2}.
A regra da cadeia diz que, ao derivar f em relação a uma variável, a derivada é o exponencial avaliado vezes a derivada da parte interna. Ou seja, para x,
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y).
Agora calculamos \dfrac{\partial u}{\partial x}.

Passo 4

Derivar a parte interna \;u(x,y)=-x^{2}-y^{2} em relação a x, lembrando que y é tratado como constante:
\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2})+\dfrac{\partial}{\partial x}(-y^{2}).
A segunda parcela é zero porque \;y^{2} é constante quando derivamos em relação a x. A derivada de -x^{2} é -2x. Logo
\dfrac{\partial u}{\partial x}(x,y)=-2x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot(-2x)= -2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
Comentário didático: o fator -2x veio de derivar a parte interna; o fator e^{-x^{2}-y^{2}} é a própria função original — isso é típico quando derivamos exponenciais.

Passo 6

Agora fazemos a derivada parcial em relação a y. Pela mesma ideia, usamos a regra da cadeia:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y).
Calculamos \dfrac{\partial u}{\partial y}: ao derivar -x^{2}-y^{2} em relação a y, o termo -x^{2} é constante (derivada zero) e a derivada de -y^{2} é -2y. Assim
\dfrac{\partial u}{\partial y}(x,y)=-2y.

Passo 7

Aplicando na expressão:
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{u(x,y)}\cdot(-2y)=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.
Observe a simetria: as duas parciais têm a mesma forma, trocando x por y.

Passo 8

Interpretação rápida e exemplos numéricos para fixar (se quiser praticar na prova): em (0,0) tem-se \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0. Em (1,0) tem-se \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)=-2e^{-1} e \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=0. Esses cálculos mostram como o sinal e a magnitude dependem de x e y.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}

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